Страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.102° Что называют асимптотой кривой?

Асимптотой кривой (в частности, графика функции $y = f(x)$) называют прямую, обладающую свойством, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю, когда точка, двигаясь по кривой, неограниченно удаляется от начала координат.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Прямая вида $x = a$ называется вертикальной асимптотой графика функции $y = f(x)$, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке $a$ равен бесконечности. Математически это условие записывается так:

$\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$ (или $-\infty$) или $\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty$ (или $-\infty$).

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции. Например, для рациональных дробей — это точки, в которых знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля.

Пример: Для функции $f(x) = \frac{1}{x-3}$ прямая $x = 3$ является вертикальной асимптотой, поскольку при $x \to 3$ знаменатель стремится к нулю, а функция — к бесконечности.

Горизонтальные асимптоты

Прямая вида $y = L$ называется горизонтальной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или $x \to -\infty$), если предел функции при стремлении $x$ к соответствующей бесконечности равен конечному числу $L$.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ или $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$.

График функции может иметь не более двух горизонтальных асимптот: одну при $x \to +\infty$ и другую при $x \to -\infty$.

Пример: Для функции $f(x) = \frac{3x^2 - 2}{x^2 + 1}$ прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2}{x^2 + 1} = 3$.

Наклонные асимптоты

Прямая вида $y = kx + b$ (где $k \neq 0$) называется наклонной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или $x \to -\infty$), если выполняется условие:

$\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - (kx + b)) = 0$.

Коэффициенты $k$ и $b$ для наклонной асимптоты находятся с помощью пределов:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$

Для существования наклонной асимптоты необходимо, чтобы оба предела существовали, были конечными, и коэффициент $k$ был отличен от нуля. Если $k=0$, то асимптота является горизонтальной.

Пример: Для функции $f(x) = \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x^2 + 1}$ найдем наклонную асимптоту.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x(x^2 + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x^3 + x} = 2$.

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x^2 + 1} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 + 1 - 2x(x^2+1)}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = 3$.

Следовательно, прямая $y = 2x + 3$ является наклонной асимптотой.

Ответ: Асимптотой кривой называют прямую, к которой точки кривой неограниченно приближаются при удалении в бесконечность. Асимптоты бывают трех видов: вертикальные (прямые вида $x=a$, к которым график стремится в точках разрыва), горизонтальные (прямые вида $y=L$, описывающие поведение функции на бесконечности) и наклонные (прямые вида $y=kx+b$, к которым график функции приближается на бесконечности).

5.103° Объясните, как найти асимптоты графика функции $y = f(x)$.

Асимптота графика функции — это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при удалении его точки в бесконечность. Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Прямая вида $x = a$ является вертикальной асимптотой графика функции $y = f(x)$, если при приближении $x$ к точке $a$ (слева или справа) значение функции стремится к бесконечности. Формально, это означает, что хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности:

$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ или $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$

Как найти:

1. Найти область определения функции $D(f)$.

2. Найти точки разрыва функции. Это точки, которые не входят в область определения, но являются предельными для нее (например, нули знаменателя для дробно-рациональной функции). Эти точки являются кандидатами на вертикальные асимптоты.

3. Для каждой такой точки $a$ вычислить односторонние пределы. Если хотя бы один из них равен $+\infty$ или $-\infty$, то прямая $x=a$ — вертикальная асимптота.

Ответ: Вертикальные асимптоты $x=a$ ищутся в точках разрыва функции $a$, где хотя бы один из односторонних пределов $\lim_{x \to a^{\pm}} f(x)$ равен $\pm\infty$.

Горизонтальные асимптоты

Прямая вида $y = b$ является горизонтальной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или $x \to -\infty$), если значение функции стремится к числу $b$ при стремлении $x$ к бесконечности.

Как найти:

1. Вычислить предел функции при $x \to +\infty$: $b_1 = \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Если этот предел существует и равен конечному числу $b_1$, то прямая $y = b_1$ — правосторонняя горизонтальная асимптота.

3. Вычислить предел функции при $x \to -\infty$: $b_2 = \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

4. Если этот предел существует и равен конечному числу $b_2$, то прямая $y = b_2$ — левосторонняя горизонтальная асимптота. Функция может иметь одну, две или ни одной горизонтальной асимптоты.

Ответ: Горизонтальные асимптоты $y=b$ находятся путем вычисления пределов $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$. Если предел конечен, то такая асимптота существует.

Наклонные асимптоты

Прямая вида $y = kx + b$ (где $k \ne 0$) является наклонной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или $x \to -\infty$), если расстояние между графиком функции и этой прямой стремится к нулю при $x \to \pm\infty$.

Как найти:

Наклонные асимптоты ищут, если пределы $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ равны бесконечности (т.е. горизонтальных асимптот нет). Поиск ведется отдельно для $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

1. Найти коэффициент наклона $k$: $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$.

2. Если предел $k$ существует, конечен и не равен нулю, то ищем коэффициент $b$. Если $k=0$, то это случай горизонтальной асимптоты. Если предел $k$ не существует или равен $\infty$, наклонной асимптоты нет.

3. Найти сдвиг по оси ординат $b$: $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$.

4. Если предел $b$ также существует и конечен, то прямая $y = kx + b$ является наклонной асимптотой. Эти шаги повторяются для $x \to -\infty$, чтобы найти возможную другую асимптоту.

Ответ: Наклонная асимптота $y=kx+b$ существует, если существуют конечные пределы $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ (причем $k \ne 0$) и $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$. Расчеты проводятся отдельно для $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

5.104 Найдите асимптоты графика функции:

а) $y = \frac{2x^2 + 1}{x}$;

б) $y = \frac{2x^2 - 1}{x}$;

В) $y = \frac{2x^2 - 5x + 5}{x - 2}$;

Г) $y = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x + 1}$;

Д) $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{3x + 1}$;

е) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{2x - 1}$.

а) $y = \frac{2x^2 + 1}{x}$

1. Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва функции. Данная функция имеет разрыв в точке, где знаменатель равен нулю.

$x = 0$.

Найдём односторонние пределы в этой точке:

$\lim_{x \to 0^-} \frac{2x^2 + 1}{x} = \frac{1}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{2x^2 + 1}{x} = \frac{1}{+0} = +\infty$

Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} (2 + \frac{1}{x^2}) = 2$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2 + 1}{x} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1 - 2x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$.

Таким образом, прямая $y = 2x$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=2x$.

б) $y = \frac{2x^2 - 1}{x}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель обращается в нуль при $x=0$.

$\lim_{x \to 0^-} \frac{2x^2 - 1}{x} = \frac{-1}{-0} = +\infty$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{2x^2 - 1}{x} = \frac{-1}{+0} = -\infty$

Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} (2 - \frac{1}{x^2}) = 2$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2 - 1}{x} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 1 - 2x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{x} = 0$.

Прямая $y = 2x$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=2x$.

в) $y = \frac{2x^2 - 5x + 5}{x - 2}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель равен нулю при $x-2=0$, то есть $x=2$. Проверим значение числителя в этой точке: $2(2)^2 - 5(2) + 5 = 8 - 10 + 5 = 3 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 5}{x(x - 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 5}{x^2 - 2x} = 2$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2 - 5x + 5}{x - 2} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 5 - 2x(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 5 - 2x^2 + 4x}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x + 5}{x - 2} = -1$.

Прямая $y = 2x - 1$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=2x-1$.

г) $y = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x + 1}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель равен нулю при $x=-1$. Проверим значение числителя в этой точке: $3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0$.

Поскольку и числитель, и знаменатель равны нулю, имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Разложим числитель на множители: $3x^2 + 2x - 1 = (3x-1)(x+1)$.

Тогда функцию можно упростить:

$y = \frac{(3x-1)(x+1)}{x+1} = 3x - 1$, при $x \neq -1$.

График функции — это прямая $y=3x-1$ с выколотой точкой при $x=-1$. Таким образом, у функции нет вертикальных асимптот. В точке $x=-1$ находится точка устранимого разрыва.

2. Наклонные асимптоты.

Поскольку функция (за исключением одной точки) является прямой линией, она не приближается к какой-либо другой прямой на бесконечности. Следовательно, наклонных асимптот у функции нет.

Ответ: асимптот нет.

д) $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{3x + 1}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель равен нулю при $3x+1=0$, то есть $x=-1/3$. Числитель в этой точке: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = (-1/3 - 1)^2 = (-4/3)^2 = 16/9 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-1/3$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x(3x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{3x^2 + x} = \frac{1}{3}$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2 - 2x + 1}{3x + 1} - \frac{1}{3}x) = \lim_{x \to \infty} \frac{3(x^2 - 2x + 1) - x(3x + 1)}{3(3x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 6x + 3 - 3x^2 - x}{9x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{-7x + 3}{9x + 3} = -\frac{7}{9}$.

Прямая $y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{9}$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-1/3$, наклонная асимптота $y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{9}$.

е) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{2x - 1}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель равен нулю при $2x-1=0$, то есть $x=1/2$. Числитель в этой точке: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = (1/2 + 1)^2 = (3/2)^2 = 9/4 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=1/2$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{x(2x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{2x^2 - x} = \frac{1}{2}$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2 + 2x + 1}{2x - 1} - \frac{1}{2}x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2(x^2 + 2x + 1) - x(2x - 1)}{2(2x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 4x + 2 - 2x^2 + x}{4x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x + 2}{4x - 2} = \frac{5}{4}$.

Прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1/2$, наклонная асимптота $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$.

5.105° Какую функцию называют дробно-линейной функцией?

Дробно-линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида:
$y = \frac{ax+b}{cx+d}$
Здесь $x$ — независимая переменная, а $a, b, c, d$ — некоторые заданные числа (коэффициенты). Для того чтобы функция являлась дробно-линейной, на эти коэффициенты накладываются два обязательных условия.

Условия для коэффициентов:

1. Коэффициент $c$ не должен быть равен нулю, то есть $c \neq 0$. Если $c = 0$, то функция становится линейной: $y = \frac{ax+b}{d} = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d}$ (при $d \neq 0$).

2. Выражение $ad-bc$ не должно быть равно нулю, то есть $ad-bc \neq 0$. Это условие гарантирует, что функция не является постоянной. Если $ad-bc = 0$, то числитель пропорционален знаменателю. В этом случае дробь можно сократить, и функция становится константой $y = \frac{a}{c}$. Такой случай называют вырожденным.

Таким образом, дробно-линейная функция — это отношение двух линейных многочленов при условии, что знаменатель не является константой и числитель не пропорционален знаменателю. Название "дробно-линейная" как раз и отражает её структуру: это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся линейные выражения.

Графиком дробно-линейной функции является гипербола. Эту гиперболу можно получить из графика простейшей функции $y = \frac{k}{x}$ с помощью параллельных переносов. У этой гиперболы всегда есть две асимптоты:
— вертикальная асимптота: $x = -\frac{d}{c}$ (значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль);
— горизонтальная асимптота: $y = \frac{a}{c}$ (предельное значение функции при $x \to \pm\infty$).

Ответ: Дробно-линейной функцией называют функцию, заданную формулой вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $x$ — переменная, $a, b, c, d$ — некоторые числа, причем обязательно выполняются условия $c \neq 0$ и $ad-bc \neq 0$.

5.106 Является ли дробно-линейной функция:

а) $y = \frac{2x + 5}{10}$;

б) $y = \frac{2}{4x + 10}$;

в) $y = \frac{2x + 5}{4x}$;

г) $y = \frac{2x + 5}{4x + 10}$?

Дробно-линейная функция — это функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{ax + b}{cx + d}$, где $x$ — переменная, $a, b, c, d$ — некоторые числа, причем необходимо выполнение двух условий: $c \neq 0$ и $ad - bc \neq 0$. Первое условие означает, что знаменатель зависит от $x$, а второе — что функция не сводится к константе. Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

а) Для функции $y = \frac{2x + 5}{10}$ мы можем преобразовать выражение: $y = \frac{2}{10}x + \frac{5}{10} = 0.2x + 0.5$. Это уравнение представляет собой линейную функцию вида $y=kx+m$. Чтобы функция была дробно-линейной, в форме $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ должно выполняться условие $c \neq 0$. В нашем случае знаменатель — константа 10, что эквивалентно $0x + 10$. Таким образом, $c=0$, и функция не является дробно-линейной.

Ответ: нет.

б) Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{4x + 10}$. Ее можно представить в виде $y = \frac{0x+2}{4x+10}$. Коэффициенты здесь: $a=0, b=2, c=4, d=10$. Проверим условия:
1) $c = 4$, что не равно нулю ($c \neq 0$).
2) $ad - bc = (0)(10) - (2)(4) = 0 - 8 = -8$, что не равно нулю ($ad - bc \neq 0$).Оба условия выполняются, следовательно, функция является дробно-линейной.

Ответ: да.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{2x + 5}{4x}$. Ее можно представить в виде $y = \frac{2x+5}{4x+0}$. Коэффициенты здесь: $a=2, b=5, c=4, d=0$. Проверим условия:
1) $c = 4$, что не равно нулю ($c \neq 0$).
2) $ad - bc = (2)(0) - (5)(4) = 0 - 20 = -20$, что не равно нулю ($ad - bc \neq 0$).Оба условия выполняются, следовательно, функция является дробно-линейной.

Ответ: да.

г) Для функции $y = \frac{2x + 5}{4x + 10}$ коэффициенты: $a=2, b=5, c=4, d=10$.Условие $c=4 \neq 0$ выполняется. Проверим второе условие: $ad - bc = (2)(10) - (5)(4) = 20 - 20 = 0$.Поскольку $ad-bc=0$, функция не является дробно-линейной. Это означает, что она вырождается в постоянную функцию на своей области определения. Упростим выражение: $y = \frac{2x+5}{2(2x+5)} = \frac{1}{2}$ при условии, что $2x+5 \neq 0$, то есть $x \neq -2.5$. Таким образом, это постоянная функция с выколотой точкой, а не дробно-линейная.

Ответ: нет.

Найдите асимптоты графика функции и постройте этот график (5.107—5.109):

5.107 а) $y = \frac{x - 3}{x + 1}$;

б) $y = \frac{2x + 3}{x - 1}$.

Для нахождения асимптот и построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю: $x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Прямая $x = a$ является вертикальной асимптотой, если предел функции при $x$, стремящемся к $a$, равен бесконечности. Проверим точку разрыва $x = -1$.

$\lim_{x \to -1^-} \frac{x-3}{x+1} = \frac{-1-3}{-1^-+1} = \frac{-4}{0^-} = +\infty$

$\lim_{x \to -1^+} \frac{x-3}{x+1} = \frac{-1-3}{-1^++1} = \frac{-4}{0^+} = -\infty$

Так как пределы слева и справа равны бесконечности, прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота. Прямая $y = k$ является горизонтальной асимптотой, если $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = k$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x-3}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}-\frac{3}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 3/x}{1 + 1/x} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

Следовательно, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой. Поскольку существует горизонтальная асимптота, наклонных асимптот у графика функции нет.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{0-3}{0+1} = -3$. Точка $(0, -3)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{x-3}{x+1} \implies x-3=0 \implies x=3$. Точка $(3, 0)$.

4. Построение графика.

График данной функции — гипербола. Для удобства построения представим функцию в виде $y = k + \frac{m}{x-a}$, выделив целую часть:

$y = \frac{x-3}{x+1} = \frac{(x+1) - 1 - 3}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{4}{x+1} = 1 - \frac{4}{x+1}$

Это график функции $y = -4/x$, смещенный на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy. Его асимптоты $x=-1$ и $y=1$. Центр симметрии — точка $(-1, 1)$.

Этапы построения:

1. Чертим систему координат.
2. Пунктирными линиями проводим асимптоты $x=-1$ и $y=1$.
3. Отмечаем точки пересечения с осями: $(0, -3)$ и $(3, 0)$.
4. Коэффициент при дроби отрицательный ($-4$), поэтому ветви гиперболы располагаются во II и IV четвертях относительно новых осей (асимптот).
5. Проводим одну ветвь гиперболы через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$, приближая её к асимптотам $x=-1$ и $y=1$.
6. Вторую ветвь строим симметрично относительно точки пересечения асимптот $(-1, 1)$. Она будет располагаться в левом верхнем углу (II четверть относительно асимптот). Для точности можно найти контрольную точку, например, при $x=-2 \implies y = \frac{-2-3}{-2+1}=5$. Точка $(-2, 5)$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=-1$, горизонтальная асимптота $y=1$. График представляет собой гиперболу с центром симметрии в точке $(-1, 1)$ и ветвями во II и IV квадрантах относительно асимптот, проходящую через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

Проведем исследование функции аналогично предыдущему пункту.

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Проверим точку разрыва $x=1$.

$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x+3}{x-1} = \frac{2(1)+3}{1^--1} = \frac{5}{0^-} = -\infty$

$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x+3}{x-1} = \frac{2(1)+3}{1^+-1} = \frac{5}{0^+} = +\infty$

Прямая $x = 1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота. Ищем предел при $x \to \infty$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x}+\frac{3}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + 3/x}{1 - 1/x} = \frac{2+0}{1-0} = 2$

Прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{2(0)+3}{0-1} = -3$. Точка $(0, -3)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{2x+3}{x-1} \implies 2x+3=0 \implies x=-\frac{3}{2}=-1.5$. Точка $(-1.5, 0)$.

4. Построение графика.

Выделим целую часть в выражении для функции:

$y = \frac{2x+3}{x-1} = \frac{2(x-1)+2+3}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1} = 2 + \frac{5}{x-1}$

Это график функции $y=5/x$, смещенный на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Его асимптоты $x=1$ и $y=2$. Центр симметрии — точка $(1, 2)$.

Этапы построения:

1. Чертим асимптоты $x=1$ и $y=2$ (пунктирные линии).
2. Отмечаем точки пересечения с осями: $(0, -3)$ и $(-1.5, 0)$.
3. Коэффициент при дроби положительный ($5$), поэтому ветви гиперболы располагаются в I и III четвертях относительно новых осей (асимптот).
4. Проводим одну ветвь через точки $(0, -3)$ и $(-1.5, 0)$, приближая её к асимптотам $x=1$ и $y=2$. Эта ветвь находится в "левой нижней" части.
5. Вторую ветвь строим симметрично относительно центра $(1, 2)$. Она будет в "правом верхнем" углу. Для точности найдем контрольную точку, например, при $x=2 \implies y = \frac{2(2)+3}{2-1}=7$. Точка $(2, 7)$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=2$. График представляет собой гиперболу с центром симметрии в точке $(1, 2)$ и ветвями в I и III квадрантах относительно асимптот, проходящую через точки $(0, -3)$ и $(-1.5, 0)$.

5.108 а) $y = \frac{x+2}{x-2}$;

б) $y = \frac{x-2}{x+2}$.

а) $y = \frac{x+2}{x-2}$

Для решения задачи проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю:
$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y(0) = \frac{0+2}{0-2} = -1$. Точка пересечения: $(0; -1)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$\frac{x+2}{x-2} = 0 \Rightarrow x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка пересечения: $(-2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{-x+2}{-x-2} = \frac{-(x-2)}{-(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

4. Асимптоты графика.

Вертикальная асимптота:
Знаменатель обращается в ноль при $x=2$. Найдем пределы слева и справа от этой точки:
$\lim_{x \to 2^-} \frac{x+2}{x-2} = \frac{4}{0^-} = -\infty$
$\lim_{x \to 2^+} \frac{x+2}{x-2} = \frac{4}{0^+} = +\infty$
Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота:
Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+2}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1+2/x)}{x(1-2/x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+2/x}{1-2/x} = \frac{1}{1} = 1$.
Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(x+2)'(x-2) - (x+2)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+2) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x-2-x-2}{(x-2)^2} = \frac{-4}{(x-2)^2}$.
Так как знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен, а числитель равен -4 (отрицателен), то $y' < 0$ для всех $x$ из области определения.
Следовательно, функция убывает на всем протяжении своей области определения: на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Точек экстремума нет, так как производная нигде не обращается в ноль.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:
$y'' = (\frac{-4}{(x-2)^2})' = (-4(x-2)^{-2})' = -4(-2)(x-2)^{-3} = \frac{8}{(x-2)^3}$.
Знак второй производной зависит от знака знаменателя $(x-2)^3$:
- При $x < 2$, $(x-2)^3 < 0$, следовательно $y'' < 0$. На интервале $(-\infty; 2)$ график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- При $x > 2$, $(x-2)^3 > 0$, следовательно $y'' > 0$. На интервале $(2; +\infty)$ график функции выпуклый вниз (выпуклый).
Точек перегиба нет, так как в точке $x=2$, где меняется знак выпуклости, функция не определена.

Ответ:
Исследование функции $y = \frac{x+2}{x-2}$ показало, что ее график — гипербола со следующими свойствами:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
- Асимптоты: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=1$.
- Пересечение с осями координат в точках $(-2; 0)$ и $(0; -1)$.
- Функция монотонно убывает на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$, экстремумов нет.
- График является выпуклым вверх на $(-\infty; 2)$ и выпуклым вниз на $(2; +\infty)$.

б) $y = \frac{x-2}{x+2}$

Проведем полное исследование функции по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Область определения функции.

Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.
Область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y(0) = \frac{0-2}{0+2} = -1$. Точка пересечения: $(0; -1)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$\frac{x-2}{x+2} = 0 \Rightarrow x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Точка пересечения: $(2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{-x-2}{-x+2} = \frac{-(x+2)}{-(x-2)} = \frac{x+2}{x-2}$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

4. Асимптоты графика.

Вертикальная асимптота:
Знаменатель равен нулю при $x=-2$. Найдем пределы:
$\lim_{x \to -2^-} \frac{x-2}{x+2} = \frac{-4}{0^-} = +\infty$
$\lim_{x \to -2^+} \frac{x-2}{x+2} = \frac{-4}{0^+} = -\infty$
Прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота:
Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-2}{x+2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1-2/x)}{x(1+2/x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1-2/x}{1+2/x} = \frac{1}{1} = 1$.
Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную:
$y' = \frac{(x-2)'(x+2) - (x-2)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{1 \cdot (x+2) - (x-2) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x+2}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x+2)^2}$.
Так как $(x+2)^2 > 0$ и числитель 4 положителен, $y' > 0$ для всех $x$ из области определения.
Следовательно, функция возрастает на всей области определения: на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.
Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:
$y'' = (\frac{4}{(x+2)^2})' = (4(x+2)^{-2})' = 4(-2)(x+2)^{-3} = \frac{-8}{(x+2)^3}$.
Знак $y''$ зависит от знака $(x+2)^3$:
- При $x < -2$, $(x+2)^3 < 0$, следовательно $y'' > 0$. На интервале $(-\infty; -2)$ график функции выпуклый вниз (выпуклый).
- При $x > -2$, $(x+2)^3 > 0$, следовательно $y'' < 0$. На интервале $(-2; +\infty)$ график функции выпуклый вверх (вогнутый).
Точек перегиба нет.

Ответ:
Исследование функции $y = \frac{x-2}{x+2}$ показало, что ее график — гипербола со следующими свойствами:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
- Асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=1$.
- Пересечение с осями координат в точках $(2; 0)$ и $(0; -1)$.
- Функция монотонно возрастает на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$, экстремумов нет.
- График является выпуклым вниз на $(-\infty; -2)$ и выпуклым вверх на $(-2; +\infty)$.