Страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.91 Найдите два положительных числа, сумма которых равна 1, а произведение наибольшее.

Пусть искомые положительные числа – это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 1:
$x + y = 1$

Также по условию, эти числа являются положительными:
$x > 0$ и $y > 0$.

Нам необходимо найти такие значения $x$ и $y$, при которых их произведение $P = x \cdot y$ будет наибольшим.

Для решения задачи выразим одну переменную через другую из уравнения суммы. Выразим $y$ через $x$:
$y = 1 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $x$:
$P(x) = x \cdot (1 - x) = x - x^2$

Задача сводится к нахождению максимального значения функции $P(x) = -x^2 + x$.
Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $1 - x > 0$, откуда следует, что $x < 1$. Таким образом, мы ищем максимум функции на интервале $x \in (0, 1)$.

Функция $P(x) = -x^2 + x$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$). Наибольшее значение такая парабола принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае для функции $P(x) = -x^2 + x$ коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 1$.
Найдем координату $x$ вершины:
$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$

Полученное значение $x = \frac{1}{2}$ находится в заданном интервале $(0, 1)$, следовательно, оно является решением.
Теперь найдем соответствующее значение для второго числа $y$:
$y = 1 - x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, искомые числа равны друг другу. Их произведение $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ является максимально возможным.

Ответ: Искомые числа: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$.

5.92 a) Число 54 представлено в виде суммы трёх положительных слагаемых. Первое в два раза больше второго. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим?

б) Число 48 представлено в виде суммы трёх положительных слагаемых. Два слагаемых равны между собой. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим?

а) Пусть три положительных слагаемых будут $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, их сумма равна 54, а первое слагаемое в два раза больше второго. Запишем эти условия в виде системы уравнений:
$a + b + c = 54$
$a = 2b$
Мы хотим найти такие $a, b, c > 0$, чтобы их произведение $P = a \cdot b \cdot c$ было наибольшим.

Выразим $c$ и $a$ через $b$, чтобы свести задачу к поиску максимума функции одной переменной.
Подставим $a = 2b$ в первое уравнение:
$2b + b + c = 54 \Rightarrow 3b + c = 54 \Rightarrow c = 54 - 3b$.
Теперь выразим произведение $P$ как функцию от $b$:
$P(b) = (2b) \cdot b \cdot (54 - 3b) = 2b^2(54 - 3b) = 108b^2 - 6b^3$.

Найдем область определения функции $P(b)$. Так как все слагаемые должны быть положительными:
$b > 0$
$a = 2b > 0$, что также дает $b > 0$.
$c = 54 - 3b > 0 \Rightarrow 54 > 3b \Rightarrow 18 > b$.
Таким образом, мы ищем максимум функции $P(b)$ на интервале $(0, 18)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $P(b)$ и приравняем ее к нулю:
$P'(b) = \frac{d}{db}(108b^2 - 6b^3) = 216b - 18b^2$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$216b - 18b^2 = 0$
$18b(12 - b) = 0$.
Это уравнение имеет два корня: $b = 0$ и $b = 12$. Корень $b=0$ не входит в наш интервал $(0, 18)$. Следовательно, единственная критическая точка, которую нужно рассмотреть, это $b = 12$.

Чтобы убедиться, что $b=12$ является точкой максимума, используем вторую производную:
$P''(b) = \frac{d}{db}(216b - 18b^2) = 216 - 36b$.
Подставим значение $b=12$:
$P''(12) = 216 - 36 \cdot 12 = 216 - 432 = -216$.
Так как $P''(12) < 0$, в точке $b=12$ функция $P(b)$ достигает максимума.

Теперь найдем значения остальных слагаемых:
$b = 12$
$a = 2b = 2 \cdot 12 = 24$
$c = 54 - 3b = 54 - 3 \cdot 12 = 54 - 36 = 18$.
Проверка: $24 + 12 + 18 = 54$.
Ответ: слагаемые должны быть равны 24, 12 и 18.

б) Пусть три положительных слагаемых будут $x$, $y$ и $z$. По условию задачи, их сумма равна 48, и два слагаемых равны между собой. Запишем эти условия:
$x + y + z = 48$
Пусть $x = y$.
Мы хотим найти такие $x, y, z > 0$, чтобы их произведение $P = x \cdot y \cdot z$ было наибольшим.

Выразим $z$ и $y$ через $x$, чтобы свести задачу к поиску максимума функции одной переменной.
Подставим $y = x$ в первое уравнение:
$x + x + z = 48 \Rightarrow 2x + z = 48 \Rightarrow z = 48 - 2x$.
Теперь выразим произведение $P$ как функцию от $x$:
$P(x) = x \cdot x \cdot (48 - 2x) = x^2(48 - 2x) = 48x^2 - 2x^3$.

Найдем область определения функции $P(x)$. Так как все слагаемые должны быть положительными:
$x > 0$
$z = 48 - 2x > 0 \Rightarrow 48 > 2x \Rightarrow 24 > x$.
Таким образом, мы ищем максимум функции $P(x)$ на интервале $(0, 24)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $P(x)$ и приравняем ее к нулю:
$P'(x) = \frac{d}{dx}(48x^2 - 2x^3) = 96x - 6x^2$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$96x - 6x^2 = 0$
$6x(16 - x) = 0$.
Это уравнение имеет два корня: $x = 0$ и $x = 16$. Корень $x=0$ не входит в наш интервал $(0, 24)$. Следовательно, единственная критическая точка, которую нужно рассмотреть, это $x = 16$.

Чтобы убедиться, что $x=16$ является точкой максимума, используем вторую производную:
$P''(x) = \frac{d}{dx}(96x - 6x^2) = 96 - 12x$.
Подставим значение $x=16$:
$P''(16) = 96 - 12 \cdot 16 = 96 - 192 = -96$.
Так как $P''(16) < 0$, в точке $x=16$ функция $P(x)$ достигает максимума.

Теперь найдем значения остальных слагаемых:
$x = 16$
$y = x = 16$
$z = 48 - 2x = 48 - 2 \cdot 16 = 48 - 32 = 16$.
Проверка: $16 + 16 + 16 = 48$.
Ответ: слагаемые должны быть равны 16, 16 и 16.

5.93 Парабола задана уравнением $y = 3 - x^2$. В неё вписан прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна его сторона лежала на оси $Ox$, а две вершины — на параболе (рис. 128). Определите стороны этого прямоугольника.

Рис. 128

Пусть одна из вершин прямоугольника, лежащая на параболе в первой координатной четверти, имеет координаты $(x, y)$, где $x > 0$.

Так как парабола $y = 3 - x^2$ симметрична относительно оси $Oy$, а одна из сторон прямоугольника лежит на оси $Ox$, то вершины прямоугольника будут иметь координаты $(x, 0)$, $(-x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$.

Длина стороны прямоугольника, лежащей на оси $Ox$ (ширина), будет равна расстоянию между точками $x$ и $-x$, то есть $2x$.

Длина другой стороны (высота) будет равна ординате $y$.

Поскольку вершина с координатами $(x, y)$ лежит на параболе, ее координаты удовлетворяют уравнению параболы: $y = 3 - x^2$.

Площадь прямоугольника $S$ можно выразить как функцию от переменной $x$:

$S(x) = \text{ширина} \cdot \text{высота} = (2x) \cdot y = 2x(3 - x^2) = 6x - 2x^3$

Нам необходимо найти значение $x$, при котором площадь $S(x)$ будет максимальной. Определим область определения для $x$. Так как прямоугольник вписан в фигуру, ограниченную параболой и осью $Ox$, то $x$ должен быть положительным ($x>0$) и $y$ также должен быть положительным ($y>0$).

$y > 0 \Rightarrow 3 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 3 \Rightarrow -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.

С учетом условия $x > 0$, получаем, что $x$ изменяется в интервале $(0, \sqrt{3})$.

Для нахождения максимума функции $S(x)$ найдем ее производную по $x$:

$S'(x) = (6x - 2x^3)' = 6 - 6x^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$6 - 6x^2 = 0$

$6x^2 = 6$

$x^2 = 1$

Поскольку $x > 0$, выбираем корень $x = 1$. Эта точка принадлежит нашему интервалу $(0, \sqrt{3})$.

Чтобы убедиться, что $x=1$ является точкой максимума, можно исследовать знак производной. При $0 < x < 1$ производная $S'(x) = 6(1-x^2) > 0$ (функция возрастает), а при $1 < x < \sqrt{3}$ производная $S'(x) < 0$ (функция убывает). Следовательно, в точке $x=1$ функция площади $S(x)$ достигает своего максимума.

Теперь найдем стороны прямоугольника:

Ширина: $2x = 2 \cdot 1 = 2$.

Высота: $y = 3 - x^2 = 3 - 1^2 = 2$.

Таким образом, прямоугольник наибольшей площади является квадратом со стороной 2.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2 и 2.

5.94 a) Среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой $c$ найдите тот, площадь которого наибольшая.

б) Докажите, что прямоугольник с данной диагональю $d$ имеет наибольшую площадь, если он квадрат.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. По теореме Пифагора для этого треугольника выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$.

Для нахождения треугольника с наибольшей площадью можно использовать разные подходы. Рассмотрим решение через тригонометрию.

Пусть $\alpha$ — один из острых углов треугольника. Тогда его катеты можно выразить через гипотенузу $c$ и этот угол: прилежащий катет равен $c \cos\alpha$, а противолежащий — $c \sin\alpha$. Для определённости, пусть $a = c \sin\alpha$ и $b = c \cos\alpha$.

Подставим эти выражения в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} (c \sin\alpha)(c \cos\alpha) = \frac{1}{2} c^2 \sin\alpha \cos\alpha$.

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла, $2\sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha)$, преобразуем выражение для площади:

$S(\alpha) = \frac{1}{2} c^2 \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{2} = \frac{c^2}{4}\sin(2\alpha)$.

Поскольку длина гипотенузы $c$ — это заданная постоянная величина, площадь $S$ является функцией только от угла $\alpha$. В прямоугольном треугольнике острый угол $\alpha$ может принимать значения в интервале $(0, 90^\circ)$, то есть $0 < \alpha < \pi/2$.

Функция $\sin(2\alpha)$ достигает своего максимального значения, равного 1, когда её аргумент $2\alpha = 90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). Отсюда находим значение угла $\alpha$, при котором площадь максимальна: $\alpha = 45^\circ$.

Если один острый угол прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник с равными углами при основании является равнобедренным, а значит, его катеты равны ($a=b$).

Таким образом, среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: Наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ и данной диагональю $d$. Диагональ делит этот прямоугольник на два конгруэнтных (равных) прямоугольных треугольника.

Стороны прямоугольника $a$ и $b$ являются катетами этих треугольников, а диагональ $d$ — их общей гипотенузой. Для этих треугольников выполняется теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$.

Площадь прямоугольника равна $S_{прямоуг} = ab$. Площадь каждого из двух прямоугольных треугольников равна $S_{треуг} = \frac{1}{2}ab$. Следовательно, площадь прямоугольника равна удвоенной площади одного из этих треугольников: $S_{прямоуг} = 2 \cdot S_{треуг}$.

Чтобы площадь прямоугольника была наибольшей при заданной диагонали $d$, необходимо, чтобы была наибольшей площадь составляющих его прямоугольных треугольников с гипотенузой $d$.

Из решения пункта а) известно, что среди всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник. Для такого треугольника катеты равны.

В нашем случае катеты — это стороны прямоугольника $a$ и $b$. Следовательно, для достижения максимальной площади должно выполняться условие $a = b$. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что из всех прямоугольников с данной диагональю $d$ наибольшую площадь имеет квадрат.

Ответ: Утверждение доказано.

5.95 Из круглого бревна диаметра $d$ надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $a$ и высотой $h$ (рис. 129). При каких значениях $a$ и $h$ площадь сечения балки будет наибольшей?

Рис. 129

Пусть $a$ — основание и $h$ — высота прямоугольного сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром $d$. Прямоугольник вписан в окружность, поэтому его диагональ совпадает с диаметром окружности.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $h$ и гипотенузой $d$ справедливо равенство: $a^2 + h^2 = d^2$

Площадь прямоугольного сечения $S$ определяется формулой: $S = a \cdot h$

Нам необходимо найти, при каких значениях $a$ и $h$ площадь $S$ будет наибольшей. Для этого выразим одну из переменных из соотношения Пифагора и подставим в формулу площади. Выразим $h$: $h^2 = d^2 - a^2 \implies h = \sqrt{d^2 - a^2}$ (мы берем положительное значение, так как $h$ — это длина).

Теперь функция площади зависит только от одной переменной $a$: $S(a) = a \sqrt{d^2 - a^2}$

Чтобы найти максимальное значение функции, можно исследовать на экстремум ее квадрат, $S^2(a)$, так как это упростит вычисления (позволит избавиться от корня), а максимум для $S$ (поскольку $S > 0$) будет достигаться при том же значении $a$, что и для $S^2$. $f(a) = S^2(a) = (a \sqrt{d^2 - a^2})^2 = a^2(d^2 - a^2) = d^2a^2 - a^4$

Найдем производную функции $f(a)$ по переменной $a$: $f'(a) = (d^2a^2 - a^4)' = 2d^2a - 4a^3$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $2d^2a - 4a^3 = 0$ $2a(d^2 - 2a^2) = 0$

Так как $a$ — это длина основания, то $a > 0$. Следовательно, мы можем разделить уравнение на $2a$: $d^2 - 2a^2 = 0$ $2a^2 = d^2$ $a^2 = \frac{d^2}{2}$ $a = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$: $h^2 = d^2 - a^2 = d^2 - \frac{d^2}{2} = \frac{d^2}{2}$ $h = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, площадь сечения будет наибольшей, когда его основание равно высоте, то есть когда сечение является квадратом.

Ответ: Площадь сечения балки будет наибольшей при $a = h = \frac{d\sqrt{2}}{2}$.

5.96 Из круглого бревна диаметра $d$ надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $a$ и высотой $h$ (см. рис. 129). При каких значениях $a$ и $h$ прочность балки будет наибольшей, если известно, что прочность балки пропорциональна $ah^2$?

Рис. 129

Пусть $a$ – основание, а $h$ – высота прямоугольного сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром $d$. Прочность балки, обозначим ее $P$, по условию пропорциональна величине $ah^2$. Это можно записать в виде формулы $P = k \cdot ah^2$, где $k$ – это постоянный положительный коэффициент пропорциональности. Для того чтобы прочность $P$ была наибольшей, нам необходимо найти максимум функции $f(a, h) = ah^2$.

Прямоугольное сечение балки с основанием $a$ и высотой $h$ вписано в окружность диаметром $d$, которая является поперечным сечением бревна. Из рисунка видно, что диагональ этого прямоугольника совпадает с диаметром бревна $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $h$ и диагональю $d$, справедливо следующее соотношение: $$a^2 + h^2 = d^2$$

Это уравнение является уравнением связи (ограничением) для переменных $a$ и $h$. Мы можем использовать его, чтобы выразить одну переменную через другую и свести задачу к нахождению максимума функции одной переменной. Выразим $h^2$ из уравнения связи: $$h^2 = d^2 - a^2$$ Поскольку $h$ – это высота, то $h > 0$, а значит и $h^2 > 0$. Отсюда следует, что $d^2 - a^2 > 0$, то есть $a^2 < d^2$. Учитывая, что $a$ как длина основания также должна быть положительной ($a > 0$), получаем область допустимых значений для $a$: $0 < a < d$.

Теперь подставим полученное выражение для $h^2$ в функцию, которую мы хотим максимизировать: $$f(a) = a(d^2 - a^2) = ad^2 - a^3$$

Найдем максимум функции $f(a)$ на интервале $(0, d)$. Для этого необходимо найти производную функции $f(a)$ по переменной $a$ и приравнять ее к нулю для определения критических точек. $$f'(a) = \frac{d}{da}(ad^2 - a^3) = d^2 - 3a^2$$

Приравняем производную к нулю: $$d^2 - 3a^2 = 0$$ $$3a^2 = d^2$$ $$a^2 = \frac{d^2}{3}$$ Так как $a > 0$, получаем: $$a = \sqrt{\frac{d^2}{3}} = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{3}}{3}$$

Чтобы проверить, является ли найденная точка точкой максимума, воспользуемся второй производной: $$f''(a) = \frac{d}{da}(d^2 - 3a^2) = -6a$$ Поскольку в рассматриваемой области $a > 0$, значение второй производной $f''(a)$ всегда отрицательно. Это означает, что функция $f(a)$ является вогнутой на всей области определения, и, следовательно, найденная критическая точка является точкой максимума.

Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$. Подставим найденное значение $a^2 = \frac{d^2}{3}$ в уравнение связи $h^2 = d^2 - a^2$: $$h^2 = d^2 - \frac{d^2}{3} = \frac{3d^2 - d^2}{3} = \frac{2d^2}{3}$$ Так как $h > 0$, получаем: $$h = \sqrt{\frac{2d^2}{3}} = \frac{d\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{6}}{3}$$

Таким образом, прочность балки будет наибольшей, когда ее основание и высота будут равны найденным значениям.

Ответ: Прочность балки будет наибольшей при значениях $a = \frac{d\sqrt{3}}{3}$ и $h = \frac{d\sqrt{6}}{3}$.

5.97 Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна $3\sqrt{3}$, а высота принимает значения, принадлежащие отрезку $[1,5; 3,5]$. Найдите параллелепипед, имеющий наибольший объём.

Пусть $a$ – сторона квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда, а $h$ – его высота.

Объем параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле: $V = a^2h$.

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда связан с его измерениями (длиной, шириной и высотой) соотношением $d^2 = l^2 + w^2 + h^2$. Поскольку в основании лежит квадрат, то длина $l$ равна ширине $w$ и равна $a$, и формула принимает вид: $d^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$.

По условию, диагональ $d = 3\sqrt{3}$, следовательно, ее квадрат $d^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$. Таким образом, мы имеем уравнение, связывающее сторону основания $a$ и высоту $h$: $2a^2 + h^2 = 27$.

Чтобы найти объем как функцию одной переменной, выразим $a^2$ из этого уравнения: $2a^2 = 27 - h^2 \implies a^2 = \frac{27 - h^2}{2}$.

Теперь подставим это выражение в формулу объема, чтобы получить объем $V$ как функцию от высоты $h$: $V(h) = a^2h = \left(\frac{27 - h^2}{2}\right)h = \frac{27h - h^3}{2}$.

По условию задачи, высота $h$ может принимать значения, принадлежащие отрезку $[1,5; 3,5]$. Нам необходимо найти наибольшее значение функции $V(h)$ на этом отрезке. Для этого найдем производную функции $V(h)$ по переменной $h$: $V'(h) = \frac{d}{dh}\left(\frac{1}{2}(27h - h^3)\right) = \frac{1}{2}(27 - 3h^2)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{2}(27 - 3h^2) = 0$,
$27 - 3h^2 = 0$,
$3h^2 = 27$,
$h^2 = 9$,
$h = 3$ (мы рассматриваем только положительное значение, так как $h$ – это высота).

Найденная критическая точка $h = 3$ принадлежит заданному отрезку $[1,5; 3,5]$. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо вычислить ее значения в этой критической точке и на концах отрезка.

Вычислим значения объема $V(h)$ в точках $h=1,5$, $h=3$ и $h=3,5$:
При $h = 1,5$: $V(1,5) = \frac{27 \cdot 1,5 - (1,5)^3}{2} = \frac{40,5 - 3,375}{2} = \frac{37,125}{2} = 18,5625$.
При $h = 3$: $V(3) = \frac{27 \cdot 3 - 3^3}{2} = \frac{81 - 27}{2} = \frac{54}{2} = 27$.
При $h = 3,5$: $V(3,5) = \frac{27 \cdot 3,5 - (3,5)^3}{2} = \frac{94,5 - 42,875}{2} = \frac{51,625}{2} = 25,8125$.

Сравнивая полученные значения ($18,5625$, $27$ и $25,8125$), мы заключаем, что наибольший объем $V=27$ достигается при высоте $h=3$.

Теперь найдем сторону основания $a$ для параллелепипеда с максимальным объемом: $a^2 = \frac{27 - h^2}{2} = \frac{27 - 3^2}{2} = \frac{27 - 9}{2} = \frac{18}{2} = 9$. Отсюда $a = \sqrt{9} = 3$.

Следовательно, параллелепипед, имеющий наибольший объем, имеет измерения $3 \times 3 \times 3$, то есть является кубом.

Ответ: Параллелепипед с наибольшим объемом является кубом со стороной ребра, равной 3.

5.98* Корабль $K$ стоит в 9 км от ближайшей точки $B$ прямолинейного берега (рис. 130). С корабля нужно послать курьера в лагерь $L$, находящийся на берегу и расположенный в 15 км (считая по берегу) от точки $B$. В каком пункте $P$ берега курьер должен пристать, чтобы попасть в лагерь за кратчайшее время, если он идёт пешком со скоростью 5 км/ч, а на вёслах — 4 км/ч?

Рис. 130

Для решения задачи необходимо найти точку $P$ на берегу, которая минимизирует общее время в пути курьера от корабля $K$ до лагеря $L$. Путь состоит из двух участков: от корабля $K$ до точки $P$ на берегу (на вёслах) и от точки $P$ до лагеря $L$ (пешком по берегу).

Введем переменные, основываясь на данных из условия и рисунка:

• Расстояние от корабля $K$ до ближайшей точки на берегу $B$: $KB = 9$ км.
• Расстояние от точки $B$ до лагеря $L$ по берегу: $BL = 15$ км.
• Скорость на вёслах: $v_1 = 4$ км/ч.
• Скорость пешком: $v_2 = 5$ км/ч.

Пусть точка $P$, в которой курьер пристанет к берегу, находится на расстоянии $x$ км от точки $B$ в сторону лагеря $L$. Таким образом, $BP = x$. Так как курьер должен пристать к берегу где-то между точкой $B$ и лагерем $L$, то $x$ может изменяться в пределах от $0$ до $15$ км, то есть $x \in [0, 15]$.

Теперь выразим через $x$ длины двух участков пути:

1. Участок на вёслах (от $K$ до $P$):
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KBP$. Катеты этого треугольника равны $KB=9$ км и $BP=x$ км. Длина гипотенузы $KP$ находится по теореме Пифагора: $S_1 = KP = \sqrt{KB^2 + BP^2} = \sqrt{9^2 + x^2} = \sqrt{81 + x^2}$ км. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4}$ ч.
2. Участок пешком (от $P$ до $L$):
   Расстояние по берегу от точки $P$ до лагеря $L$ равно: $S_2 = PL = BL - BP = 15 - x$ км. Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{15 - x}{5}$ ч.

Общее время в пути $T$ является функцией от $x$:$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4} + \frac{15 - x}{5}$

Чтобы найти кратчайшее время, нам нужно найти минимальное значение функции $T(x)$ на отрезке $[0, 15]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ по $x$:$T'(x) = \left( \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4} + \frac{15 - x}{5} \right)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{81 + x^2}} \cdot (81 + x^2)' + \frac{1}{5} \cdot (15 - x)'$$T'(x) = \frac{1}{8\sqrt{81 + x^2}} \cdot 2x - \frac{1}{5} = \frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{5}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$T'(x) = 0 \implies \frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{5} = 0$$\frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} = \frac{1}{5}$$5x = 4\sqrt{81 + x^2}$

Так как $x$ представляет собой расстояние, то $x \ge 0$. Мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:$(5x)^2 = (4\sqrt{81 + x^2})^2$$25x^2 = 16(81 + x^2)$$25x^2 = 1296 + 16x^2$$25x^2 - 16x^2 = 1296$$9x^2 = 1296$$x^2 = \frac{1296}{9} = 144$$x = \sqrt{144} = 12$

Мы получили критическую точку $x = 12$. Эта точка принадлежит нашему отрезку $[0, 15]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно исследовать знак производной или сравнить значения функции в этой точке и на концах отрезка.

• При $x=0$: $T(0) = \frac{\sqrt{81+0}}{4} + \frac{15-0}{5} = \frac{9}{4} + 3 = 2.25 + 3 = 5.25$ ч.
• При $x=12$: $T(12) = \frac{\sqrt{81+12^2}}{4} + \frac{15-12}{5} = \frac{\sqrt{81+144}}{4} + \frac{3}{5} = \frac{\sqrt{225}}{4} + \frac{3}{5} = \frac{15}{4} + 0.6 = 3.75 + 0.6 = 4.35$ ч.
• При $x=15$: $T(15) = \frac{\sqrt{81+15^2}}{4} + \frac{15-15}{5} = \frac{\sqrt{81+225}}{4} + 0 = \frac{\sqrt{306}}{4} \approx \frac{17.49}{4} \approx 4.37$ ч.

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее время достигается при $x=12$ км.

Ответ: Курьер должен пристать в точке $P$, расположенной на берегу на расстоянии 12 км от точки $B$ в сторону лагеря $L$.