Номер 5.75, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.75, страница 140.

Условие.

5.75° Какую точку называют точкой перегиба кривой — графика функции $y=f(x)$? Как найти точку перегиба графика функции $y=f(x)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Какую точку называют точкой перегиба кривой — графика функции y = f(x)?

Точкой перегиба графика функции $y = f(x)$ называют точку $(x_0, f(x_0))$, которая отделяет участок выпуклости графика от участка вогнутости. Для того чтобы точка была точкой перегиба, функция $f(x)$ должна быть непрерывной в этой точке, и в ней должна существовать касательная к графику функции.

Геометрически это означает, что в точке перегиба кривая переходит с одной стороны своей касательной на другую. Направление выпуклости графика функции связано со знаком её второй производной $f''(x)$:

• Если на интервале $(a, b)$ выполнено условие $f''(x) > 0$, то график функции на этом интервале является вогнутым (или выпуклым вниз).
• Если на интервале $(a, b)$ выполнено условие $f''(x) < 0$, то график функции на этом интервале является выпуклым (или выпуклым вверх).

Таким образом, точка перегиба — это точка, при переходе через которую вторая производная $f''(x)$ меняет свой знак. В самой точке перегиба вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Ответ: Точкой перегиба графика функции называют точку, в которой происходит смена направления выпуклости кривой (с выпуклости вверх на выпуклость вниз или наоборот) и существует касательная.

Как найти точку перегиба графика функции y = f(x)?

Нахождение точек перегиба графика функции проводится с помощью исследования знака второй производной. Для этого используется следующий алгоритм:

1. Найти область определения функции $f(x)$.
2. Найти первую производную $f'(x)$, а затем вторую производную $f''(x)$.
3. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками второго рода и являются «подозреваемыми» на перегиб. Пусть это будут точки $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
4. Определить знаки второй производной $f''(x)$ на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения функции.
5. Проверить, меняется ли знак $f''(x)$ при переходе через каждую критическую точку. Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ непрерывна и ее вторая производная $f''(x)$ меняет знак при переходе через $x_0$, то $x_0$ — абсцисса точки перегиба.
6. Вычислить ординаты точек перегиба, подставив найденные абсциссы $x_0$ в исходное уравнение функции: $y_0 = f(x_0)$.
7. Записать координаты точки (или точек) перегиба в виде $(x_0, y_0)$.

Это является достаточным условием для существования точки перегиба. Необходимое условие заключается в том, что если в точке $x_0$ существует непрерывная вторая производная и $x_0$ — точка перегиба, то $f''(x_0) = 0$.

Ответ: Для нахождения точек перегиба необходимо: 1) найти вторую производную функции $f''(x)$; 2) найти точки, в которых $f''(x)=0$ или не существует; 3) проверить смену знака второй производной при переходе через эти точки; 4) если знак меняется, вычислить координаты точки $(x_0, f(x_0))$, которая и будет точкой перегиба.