Номер 5.66, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.66, страница 136.

Условие.

5.66 Найдите $f''(x)$, если:

a) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$;

б) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$;

в) $f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7x - 13$;

г) $f(x) = -13x^5 + 4x^3 - x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$.
Чтобы найти вторую производную $f''(x)$, необходимо последовательно найти первую и вторую производные.
1. Находим первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило производной разности.
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2)' = (\frac{1}{3}x^3)' - (x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 2x^{2-1} = x^2 - 2x$.
2. Находим вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (x^2 - 2x)' = (x^2)' - (2x)' = 2x^{2-1} - 2 = 2x - 2$.
Ответ: $f''(x) = 2x - 2$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$.
1. Находим первую производную $f'(x)$.
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2)' = (\frac{1}{3}x^3)' + (\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2x^{1} = x^2 + x$.
2. Находим вторую производную $f''(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (x^2 + x)' = (x^2)' + (x)' = 2x + 1$.
Ответ: $f''(x) = 2x + 1$.

в) Дана функция $f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7x - 13$.
1. Находим первую производную $f'(x)$. Производная константы равна нулю.
$f'(x) = (5x^3 - 4x^2 + 7x - 13)' = (5x^3)' - (4x^2)' + (7x)' - (13)' = 5 \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2x + 7 \cdot 1 - 0 = 15x^2 - 8x + 7$.
2. Находим вторую производную $f''(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (15x^2 - 8x + 7)' = (15x^2)' - (8x)' + (7)' = 15 \cdot 2x - 8 \cdot 1 + 0 = 30x - 8$.
Ответ: $f''(x) = 30x - 8$.

г) Дана функция $f(x) = -13x^5 + 4x^3 - x$.
1. Находим первую производную $f'(x)$.
$f'(x) = (-13x^5 + 4x^3 - x)' = (-13x^5)' + (4x^3)' - (x)' = -13 \cdot 5x^4 + 4 \cdot 3x^2 - 1 = -65x^4 + 12x^2 - 1$.
2. Находим вторую производную $f''(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (-65x^4 + 12x^2 - 1)' = (-65x^4)' + (12x^2)' - (1)' = -65 \cdot 4x^3 + 12 \cdot 2x - 0 = -260x^3 + 24x$.
Ответ: $f''(x) = -260x^3 + 24x$.