Номер 5.63, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.63, страница 136.

Условие.

5.63°

a) Какое движение в механике называют равномерным; равноускоренным?

б) В чём заключается механический смысл второй производной?

в) Точка движется по прямой по закону $s(t) = \frac{at^2}{2} + v_0t + s_0$.

Какой механический смысл имеют числа $a, v_0, s_0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Равномерным движением в механике называют такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния. Иначе говоря, это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью ($v = \text{const}$). Ускорение при равномерном движении равно нулю ($a=0$).

Равноускоренным движением называют движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Это движение с постоянным ускорением ($a = \text{const}$ и $a \ne 0$).

Ответ: Равномерное движение — это движение с постоянной скоростью. Равноускоренное движение — это движение с постоянным ускорением.

б) Механический смысл производной функции, описывающей положение тела в пространстве с течением времени ($s(t)$), тесно связан с кинематическими характеристиками движения. Первая производная от координаты по времени $s'(t)$ представляет собой мгновенную скорость тела в момент времени $t$: $v(t) = s'(t)$.

Вторая производная от координаты по времени $s''(t)$ является производной от скорости по времени $v'(t)$. Эта величина показывает, как быстро изменяется скорость тела, и по определению является мгновенным ускорением тела в момент времени $t$: $a(t) = v'(t) = s''(t)$.

Ответ: Механический смысл второй производной от закона движения $s(t)$ — это мгновенное ускорение точки $a(t)$.

в) Дан закон прямолинейного движения точки: $s(t) = \frac{at^2}{2} + v_0t + s_0$. Чтобы определить механический смысл чисел $a$, $v_0$ и $s_0$, найдем физические величины, соответствующие этому закону движения, используя производные.

1. Начальная координата ($s_0$). Положение точки в начальный момент времени ($t=0$) можно найти, подставив это значение в уравнение движения:

$s(0) = \frac{a \cdot 0^2}{2} + v_0 \cdot 0 + s_0 = s_0$.

Таким образом, $s_0$ — это начальная координата (или начальное положение) точки.

2. Начальная скорость ($v_0$). Мгновенная скорость $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $s'(t)$:

$v(t) = s'(t) = \left(\frac{at^2}{2} + v_0t + s_0\right)' = \frac{a \cdot 2t}{2} + v_0 + 0 = at + v_0$.

Чтобы найти начальную скорость, подставим в это выражение $t=0$:

$v(0) = a \cdot 0 + v_0 = v_0$.

Таким образом, $v_0$ — это начальная скорость точки.

3. Ускорение ($a$). Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты по времени $s''(t)$ или первой производной от скорости $v'(t)$:

$a(t) = v'(t) = (at + v_0)' = a$.

Ускорение является постоянной величиной, не зависящей от времени, и равно $a$.

Ответ: $s_0$ — начальная координата точки, $v_0$ — начальная скорость точки, $a$ — постоянное ускорение точки.