Страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.62 a) Что называют второй производной функции $f(x)$? Как её обозначают?

б) Как находят производные высших порядков?

а) Что называют второй производной функции f(x)? Как её обозначают?

Пусть функция $y = f(x)$ дифференцируема на некотором интервале. Её производная $f'(x)$ также является функцией от $x$. Если эта функция $f'(x)$ в свою очередь дифференцируема, то её производную называют второй производной (или производной второго порядка) функции $f(x)$.

Таким образом, вторая производная — это производная от первой производной. Математически это записывается как $f''(x) = (f'(x))'$.

Для обозначения второй производной используются следующие символы:
– $y''$ (читается «игрек два штриха»)
– $f''(x)$ (читается «эф два штриха от икс»)
– $\frac{d^2y}{dx^2}$ (читается «дэ два игрек по дэ икс дважды»)

Пример. Найдем вторую производную функции $f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 1$.
Первая производная: $f'(x) = (x^3 - 5x^2 + 2x - 1)' = 3x^2 - 10x + 2$.
Вторая производная: $f''(x) = (f'(x))' = (3x^2 - 10x + 2)' = 6x - 10$.

Ответ: Второй производной функции $f(x)$ называют производную от её первой производной, то есть $(f'(x))'$. Обозначают её как $f''(x)$, $y''$, или $\frac{d^2y}{dx^2}$.

б) Как находят производные высших порядков?

Производные высших порядков находят путем последовательного (поочередного) дифференцирования. Производная $n$-го порядка (или $n$-я производная) функции — это производная от её производной $(n-1)$-го порядка. Этот процесс возможен, если на каждом шаге полученная функция является дифференцируемой.

Этот рекурсивный процесс и соответствующие обозначения выглядят так:
Первая производная: $y' = f'(x)$
Вторая производная: $y'' = (y')'$
Третья производная: $y''' = (y'')'$. Также обозначается $f'''(x)$.
Производная n-го порядка: $y^{(n)} = (y^{(n-1)})'$. Для $n \ge 4$ производную обычно обозначают $y^{(n)}$, $f^{(n)}(x)$ или $\frac{d^ny}{dx^n}$, чтобы не использовать большое количество штрихов.

Пример. Найдем производную третьего порядка для функции $f(x) = \sin(x)$.
$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (\cos(x))' = -\sin(x)$.
$f'''(x) = (f''(x))' = (-\sin(x))' = -\cos(x)$.

Ответ: Производные высших порядков находят путем последовательного дифференцирования. Производная $n$-го порядка является производной от производной $(n-1)$-го порядка: $f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$.

5.63°

a) Какое движение в механике называют равномерным; равноускоренным?

б) В чём заключается механический смысл второй производной?

в) Точка движется по прямой по закону $s(t) = \frac{at^2}{2} + v_0t + s_0$.

Какой механический смысл имеют числа $a, v_0, s_0$?

а) Равномерным движением в механике называют такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния. Иначе говоря, это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью ($v = \text{const}$). Ускорение при равномерном движении равно нулю ($a=0$).

Равноускоренным движением называют движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Это движение с постоянным ускорением ($a = \text{const}$ и $a \ne 0$).

Ответ: Равномерное движение — это движение с постоянной скоростью. Равноускоренное движение — это движение с постоянным ускорением.

б) Механический смысл производной функции, описывающей положение тела в пространстве с течением времени ($s(t)$), тесно связан с кинематическими характеристиками движения. Первая производная от координаты по времени $s'(t)$ представляет собой мгновенную скорость тела в момент времени $t$: $v(t) = s'(t)$.

Вторая производная от координаты по времени $s''(t)$ является производной от скорости по времени $v'(t)$. Эта величина показывает, как быстро изменяется скорость тела, и по определению является мгновенным ускорением тела в момент времени $t$: $a(t) = v'(t) = s''(t)$.

Ответ: Механический смысл второй производной от закона движения $s(t)$ — это мгновенное ускорение точки $a(t)$.

в) Дан закон прямолинейного движения точки: $s(t) = \frac{at^2}{2} + v_0t + s_0$. Чтобы определить механический смысл чисел $a$, $v_0$ и $s_0$, найдем физические величины, соответствующие этому закону движения, используя производные.

1. Начальная координата ($s_0$). Положение точки в начальный момент времени ($t=0$) можно найти, подставив это значение в уравнение движения:

$s(0) = \frac{a \cdot 0^2}{2} + v_0 \cdot 0 + s_0 = s_0$.

Таким образом, $s_0$ — это начальная координата (или начальное положение) точки.

2. Начальная скорость ($v_0$). Мгновенная скорость $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $s'(t)$:

$v(t) = s'(t) = \left(\frac{at^2}{2} + v_0t + s_0\right)' = \frac{a \cdot 2t}{2} + v_0 + 0 = at + v_0$.

Чтобы найти начальную скорость, подставим в это выражение $t=0$:

$v(0) = a \cdot 0 + v_0 = v_0$.

Таким образом, $v_0$ — это начальная скорость точки.

3. Ускорение ($a$). Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты по времени $s''(t)$ или первой производной от скорости $v'(t)$:

$a(t) = v'(t) = (at + v_0)' = a$.

Ускорение является постоянной величиной, не зависящей от времени, и равно $a$.

Ответ: $s_0$ — начальная координата точки, $v_0$ — начальная скорость точки, $a$ — постоянное ускорение точки.

5.64 Точка движется по прямой по закону $s(t)$. Выразите скорость $v$ точки и её ускорение $a$ как функцию времени $t$. Определите $v$ и $a$ в момент времени $t$, если:

a) $s(t) = 5t^2 - 10t + 1, t = 0, t = 2, t = 4;$

б) $s(t) = 2t^2 - 8t + 1, t = 0, t = 1, t = 5;$

в) $s(t) = t^3 - 2t^2 + t + 1, t = 0, t = 2, t = 3.$

Определите в каждом случае момент времени, когда скорость точки равна нулю.

Чтобы найти скорость $v(t)$ и ускорение $a(t)$ точки, движущейся по закону $s(t)$, необходимо найти первую и вторую производные функции $s(t)$ по времени $t$.

• Скорость: $v(t) = s'(t)$
• Ускорение: $a(t) = v'(t) = s''(t)$

а)

Дан закон движения: $s(t) = 5t^2 - 10t + 1$.

1. Выразим скорость $v$ и ускорение $a$ как функции времени $t$.

Скорость $v(t)$ равна первой производной от $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (5t^2 - 10t + 1)' = 5 \cdot 2t - 10 = 10t - 10$.

Ускорение $a(t)$ равно первой производной от $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (10t - 10)' = 10$.

2. Определим $v$ и $a$ в моменты времени $t=0, t=2, t=4$.

При $t=0$:

$v(0) = 10(0) - 10 = -10$.

$a(0) = 10$.

При $t=2$:

$v(2) = 10(2) - 10 = 20 - 10 = 10$.

$a(2) = 10$.

При $t=4$:

$v(4) = 10(4) - 10 = 40 - 10 = 30$.

$a(4) = 10$.

3. Определим момент времени, когда скорость точки равна нулю.

Приравняем $v(t)$ к нулю:

$10t - 10 = 0 \implies 10t = 10 \implies t = 1$.

Ответ: $v(t) = 10t - 10$, $a(t) = 10$. При $t=0$: $v=-10$, $a=10$. При $t=2$: $v=10$, $a=10$. При $t=4$: $v=30$, $a=10$. Скорость равна нулю при $t=1$.

б)

Дан закон движения: $s(t) = 2t^2 - 8t + 1$.

1. Выразим скорость $v$ и ускорение $a$ как функции времени $t$.

$v(t) = s'(t) = (2t^2 - 8t + 1)' = 4t - 8$.

$a(t) = v'(t) = (4t - 8)' = 4$.

2. Определим $v$ и $a$ в моменты времени $t=0, t=1, t=5$.

При $t=0$:

$v(0) = 4(0) - 8 = -8$.

$a(0) = 4$.

При $t=1$:

$v(1) = 4(1) - 8 = -4$.

$a(1) = 4$.

При $t=5$:

$v(5) = 4(5) - 8 = 20 - 8 = 12$.

$a(5) = 4$.

3. Определим момент времени, когда скорость точки равна нулю.

$v(t) = 0 \implies 4t - 8 = 0 \implies 4t = 8 \implies t = 2$.

Ответ: $v(t) = 4t - 8$, $a(t) = 4$. При $t=0$: $v=-8$, $a=4$. При $t=1$: $v=-4$, $a=4$. При $t=5$: $v=12$, $a=4$. Скорость равна нулю при $t=2$.

в)

Дан закон движения: $s(t) = t^3 - 2t^2 + t + 1$.

1. Выразим скорость $v$ и ускорение $a$ как функции времени $t$.

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 2t^2 + t + 1)' = 3t^2 - 4t + 1$.

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 4t + 1)' = 6t - 4$.

2. Определим $v$ и $a$ в моменты времени $t=0, t=2, t=3$.

При $t=0$:

$v(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$.

$a(0) = 6(0) - 4 = -4$.

При $t=2$:

$v(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 3 \cdot 4 - 8 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5$.

$a(2) = 6(2) - 4 = 12 - 4 = 8$.

При $t=3$:

$v(3) = 3(3)^2 - 4(3) + 1 = 3 \cdot 9 - 12 + 1 = 27 - 12 + 1 = 16$.

$a(3) = 6(3) - 4 = 18 - 4 = 14$.

3. Определим момент времени, когда скорость точки равна нулю.

$v(t) = 0 \implies 3t^2 - 4t + 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

$t_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$.

$t_1 = \frac{4+2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

$t_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $v(t) = 3t^2 - 4t + 1$, $a(t) = 6t - 4$. При $t=0$: $v=1$, $a=-4$. При $t=2$: $v=5$, $a=8$. При $t=3$: $v=16$, $a=14$. Скорость равна нулю при $t=1/3$ и $t=1$.

5.65* Пусть при прямолинейном движении тела его координата $x$ (в метрах) меняется по закону:

а) $x(t) = 5t + \sin 3t - 2 \cos \frac{t}{2}$;

б) $x(t) = 3t - \cos 2t + 3 \sin \frac{t}{3}$,

где $t$ — время (в секундах), $t \ge 0$. Найдите начальную скорость и начальное ускорение тела.

Для нахождения начальной скорости и начального ускорения тела необходимо найти первую и вторую производные от функции координаты $x(t)$ по времени $t$. Скорость $v(t)$ является первой производной, а ускорение $a(t)$ — второй производной.

Начальная скорость — это $v(0)$, а начальное ускорение — это $a(0)$.

а)

Задан закон движения тела: $x(t) = 5t + \sin 3t - 2\cos\frac{t}{2}$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$ как производную от $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = (5t + \sin 3t - 2\cos\frac{t}{2})' = (5t)' + (\sin 3t)' - (2\cos\frac{t}{2})'$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 5 + \cos(3t) \cdot (3t)' - 2(-\sin\frac{t}{2}) \cdot (\frac{t}{2})' = 5 + 3\cos 3t + 2\sin\frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} = 5 + 3\cos 3t + \sin\frac{t}{2}$.

2. Находим начальную скорость, подставив $t=0$ в функцию скорости:

$v(0) = 5 + 3\cos(3 \cdot 0) + \sin(\frac{0}{2}) = 5 + 3\cos 0 + \sin 0 = 5 + 3 \cdot 1 + 0 = 8$ (м/с).

3. Находим функцию ускорения $a(t)$ как производную от $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (5 + 3\cos 3t + \sin\frac{t}{2})' = (5)' + (3\cos 3t)' + (\sin\frac{t}{2})'$.

$a(t) = 0 + 3(-\sin 3t \cdot 3) + \cos\frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} = -9\sin 3t + \frac{1}{2}\cos\frac{t}{2}$.

4. Находим начальное ускорение, подставив $t=0$ в функцию ускорения:

$a(0) = -9\sin(3 \cdot 0) + \frac{1}{2}\cos(\frac{0}{2}) = -9\sin 0 + \frac{1}{2}\cos 0 = -9 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ (м/с²).

Ответ: начальная скорость $v(0) = 8$ м/с, начальное ускорение $a(0) = 0.5$ м/с².

б)

Задан закон движения тела: $x(t) = 3t - \cos 2t + 3\sin\frac{t}{3}$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$ как производную от $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = (3t - \cos 2t + 3\sin\frac{t}{3})' = (3t)' - (\cos 2t)' + (3\sin\frac{t}{3})'$.

$v(t) = 3 - (-\sin 2t \cdot 2) + 3(\cos\frac{t}{3} \cdot \frac{1}{3}) = 3 + 2\sin 2t + \cos\frac{t}{3}$.

2. Находим начальную скорость, подставив $t=0$ в функцию скорости:

$v(0) = 3 + 2\sin(2 \cdot 0) + \cos(\frac{0}{3}) = 3 + 2\sin 0 + \cos 0 = 3 + 2 \cdot 0 + 1 = 4$ (м/с).

3. Находим функцию ускорения $a(t)$ как производную от $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (3 + 2\sin 2t + \cos\frac{t}{3})' = (3)' + (2\sin 2t)' + (\cos\frac{t}{3})'$.

$a(t) = 0 + 2(\cos 2t \cdot 2) - \sin\frac{t}{3} \cdot \frac{1}{3} = 4\cos 2t - \frac{1}{3}\sin\frac{t}{3}$.

4. Находим начальное ускорение, подставив $t=0$ в функцию ускорения:

$a(0) = 4\cos(2 \cdot 0) - \frac{1}{3}\sin(\frac{0}{3}) = 4\cos 0 - \frac{1}{3}\sin 0 = 4 \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 4$ (м/с²).

Ответ: начальная скорость $v(0) = 4$ м/с, начальное ускорение $a(0) = 4$ м/с².

5.66 Найдите $f''(x)$, если:

a) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$;

б) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$;

в) $f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7x - 13$;

г) $f(x) = -13x^5 + 4x^3 - x.$

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$.
Чтобы найти вторую производную $f''(x)$, необходимо последовательно найти первую и вторую производные.
1. Находим первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило производной разности.
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2)' = (\frac{1}{3}x^3)' - (x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 2x^{2-1} = x^2 - 2x$.
2. Находим вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (x^2 - 2x)' = (x^2)' - (2x)' = 2x^{2-1} - 2 = 2x - 2$.
Ответ: $f''(x) = 2x - 2$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$.
1. Находим первую производную $f'(x)$.
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2)' = (\frac{1}{3}x^3)' + (\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2x^{1} = x^2 + x$.
2. Находим вторую производную $f''(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (x^2 + x)' = (x^2)' + (x)' = 2x + 1$.
Ответ: $f''(x) = 2x + 1$.

в) Дана функция $f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7x - 13$.
1. Находим первую производную $f'(x)$. Производная константы равна нулю.
$f'(x) = (5x^3 - 4x^2 + 7x - 13)' = (5x^3)' - (4x^2)' + (7x)' - (13)' = 5 \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2x + 7 \cdot 1 - 0 = 15x^2 - 8x + 7$.
2. Находим вторую производную $f''(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (15x^2 - 8x + 7)' = (15x^2)' - (8x)' + (7)' = 15 \cdot 2x - 8 \cdot 1 + 0 = 30x - 8$.
Ответ: $f''(x) = 30x - 8$.

г) Дана функция $f(x) = -13x^5 + 4x^3 - x$.
1. Находим первую производную $f'(x)$.
$f'(x) = (-13x^5 + 4x^3 - x)' = (-13x^5)' + (4x^3)' - (x)' = -13 \cdot 5x^4 + 4 \cdot 3x^2 - 1 = -65x^4 + 12x^2 - 1$.
2. Находим вторую производную $f''(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (-65x^4 + 12x^2 - 1)' = (-65x^4)' + (12x^2)' - (1)' = -65 \cdot 4x^3 + 12 \cdot 2x - 0 = -260x^3 + 24x$.
Ответ: $f''(x) = -260x^3 + 24x$.

5.67* Найдите производные порядков 1, 2, 3 функции

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $n \geq 2$.

Запишите полученный результат для $n = 2, n = 3, n = 4$.

Для нахождения производных будем последовательно применять правило дифференцирования степенной функции $(x^k)' = kx^{k-1}$ и свойство линейности производной, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных.

Для n = 2

Исходная функция имеет вид: $f(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0$.

Производная 1-го порядка:
$f'(x) = (a_2 x^2 + a_1 x + a_0)' = a_2(x^2)' + a_1(x)' + (a_0)' = 2a_2x + a_1$.
Ответ: $f'(x) = 2a_2x + a_1$.

Производная 2-го порядка:
$f''(x) = (2a_2x + a_1)' = 2a_2(x)' + (a_1)' = 2a_2$.
Ответ: $f''(x) = 2a_2$.

Производная 3-го порядка:
$f'''(x) = (2a_2)' = 0$, так как $2a_2$ является константой.
Ответ: $f'''(x) = 0$.

Для n = 3

Исходная функция имеет вид: $f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$.

Производная 1-го порядка:
$f'(x) = (a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0)' = 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$.
Ответ: $f'(x) = 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$.

Производная 2-го порядка:
$f''(x) = (3a_3x^2 + 2a_2x + a_1)' = 6a_3x + 2a_2$.
Ответ: $f''(x) = 6a_3x + 2a_2$.

Производная 3-го порядка:
$f'''(x) = (6a_3x + 2a_2)' = 6a_3$.
Ответ: $f'''(x) = 6a_3$.

Для n = 4

Исходная функция имеет вид: $f(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$.

Производная 1-го порядка:
$f'(x) = (a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0)' = 4a_4x^3 + 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$.
Ответ: $f'(x) = 4a_4x^3 + 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$.

Производная 2-го порядка:
$f''(x) = (4a_4x^3 + 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1)' = 12a_4x^2 + 6a_3x + 2a_2$.
Ответ: $f''(x) = 12a_4x^2 + 6a_3x + 2a_2$.

Производная 3-го порядка:
$f'''(x) = (12a_4x^2 + 6a_3x + 2a_2)' = 24a_4x + 6a_3$.
Ответ: $f'''(x) = 24a_4x + 6a_3$.

5.68 Найдите производную порядка 200 функции:

а) $f(x) = \sin x$;

б) $f(x) = \cos x$;

в) $f(x) = e^x$.

a) $f(x) = \sin x$

Чтобы найти производную 200-го порядка функции $f(x) = \sin x$, мы можем найти несколько первых производных и выявить закономерность.

Первая производная: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Вторая производная: $f''(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Третья производная: $f'''(x) = (-\sin x)' = -\cos x$

Четвертая производная: $f^{(4)}(x) = (-\cos x)' = \sin x$

Пятая производная: $f^{(5)}(x) = (\sin x)' = \cos x$

Мы видим, что производные повторяются с циклом в 4 шага. Четвертая производная равна исходной функции. Это означает, что для любого натурального $k$, производная порядка $4k$ будет равна $\sin x$. Нам нужно найти производную 200-го порядка. Поскольку 200 делится на 4 без остатка:

$200 = 4 \cdot 50$

Это означает, что 200-я производная будет такой же, как и 4-я, то есть $\sin x$.

Другой способ — использовать общую формулу для n-ой производной синуса: $(\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$.

Подставим $n=200$:

$f^{(200)}(x) = \sin(x + \frac{200\pi}{2}) = \sin(x + 100\pi)$

Так как функция синус имеет период $2\pi$, и $100\pi$ является целым кратным $2\pi$ ($100\pi = 50 \cdot 2\pi$), то $\sin(x + 100\pi) = \sin x$.

Ответ: $f^{(200)}(x) = \sin x$

б) $f(x) = \cos x$

Аналогично предыдущему пункту, найдем несколько первых производных для функции $f(x) = \cos x$.

Первая производная: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Вторая производная: $f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x$

Третья производная: $f'''(x) = (-\cos x)' = \sin x$

Четвертая производная: $f^{(4)}(x) = (\sin x)' = \cos x$

Здесь также наблюдается цикличность с периодом 4, и четвертая производная возвращает нас к исходной функции. Поскольку 200 делится на 4 нацело ($200 = 4 \cdot 50$), 200-я производная будет совпадать с 4-й производной.

Следовательно, $f^{(200)}(x) = \cos x$.

Можно также использовать общую формулу для n-ой производной косинуса: $(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$.

Подставим $n=200$:

$f^{(200)}(x) = \cos(x + \frac{200\pi}{2}) = \cos(x + 100\pi)$

Так как функция косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(x + 100\pi) = \cos(x + 50 \cdot 2\pi) = \cos x$.

Ответ: $f^{(200)}(x) = \cos x$

в) $f(x) = e^x$

Найдем производные для функции $f(x) = e^x$. Известно, что производная экспоненциальной функции $e^x$ равна самой себе.

Первая производная: $f'(x) = (e^x)' = e^x$

Вторая производная: $f''(x) = (e^x)' = e^x$

Очевидно, что производная любого порядка для функции $f(x) = e^x$ будет равна самой функции $e^x$. Формально это можно доказать методом математической индукции.

Для любого натурального $n$: $f^{(n)}(x) = e^x$.

Следовательно, для $n=200$ производная 200-го порядка также будет равна $e^x$.

Ответ: $f^{(200)}(x) = e^x$

5.69* Найдите производные порядков $n$ и $(n-1)$ функции

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $n \ge 2$.

Дана функция-многочлен n-ой степени: $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$, где $n \geq 2$.

Для нахождения производных высших порядков воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и свойством линейности производной. Основное правило, которое мы будем использовать, это производная $m$-го порядка от $x^k$: $(x^k)^{(m)} = k(k-1)...(k-m+1)x^{k-m} = \frac{k!}{(k-m)!}x^{k-m}$ при $m \le k$. Если порядок производной $m$ больше степени $k$, то производная равна нулю: $(x^k)^{(m)} = 0$ при $m > k$.

Производная порядка $(n-1)$

Чтобы найти $f^{(n-1)}(x)$, мы должны найти $(n-1)$-ю производную от каждого слагаемого в многочлене $f(x)$ и сложить результаты.

1. Для всех слагаемых $a_k x^k$, у которых степень $k < n-1$ (т.е. для $a_{n-2}x^{n-2}, ..., a_1x, a_0$), их $(n-1)$-я производная будет равна нулю.

2. Для слагаемого $a_{n-1}x^{n-1}$ (степень $k = n-1$):
$(a_{n-1}x^{n-1})^{(n-1)} = a_{n-1} \cdot (n-1)(n-2)...(1) \cdot x^{(n-1)-(n-1)} = a_{n-1}(n-1)!x^0 = a_{n-1}(n-1)!$.

3. Для слагаемого $a_n x^n$ (степень $k = n$):
$(a_n x^n)^{(n-1)} = a_n \cdot n(n-1)...(n-(n-1)+1) \cdot x^{n-(n-1)} = a_n \cdot (n(n-1)...(2)) \cdot x^1 = a_n \frac{n!}{1!}x = a_n n! x$.

Складывая все ненулевые производные, получаем итоговый результат: $f^{(n-1)}(x) = a_n n! x + a_{n-1}(n-1)!$.

Ответ: $f^{(n-1)}(x) = a_n n! x + a_{n-1}(n-1)!$.

Производная порядка $n$

Чтобы найти $f^{(n)}(x)$, можно либо взять производную от уже найденной $f^{(n-1)}(x)$, либо вычислить ее напрямую из исходной функции $f(x)$.

Способ 1: Дифференцирование $f^{(n-1)}(x)$.
$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))' = (a_n n! x + a_{n-1}(n-1)!)'$.
Первое слагаемое $a_n n! x$ является линейной функцией, ее производная равна $a_n n!$.
Второе слагаемое $a_{n-1}(n-1)!$ является константой, и ее производная равна 0.
Таким образом, $f^{(n)}(x) = a_n n!$.

Способ 2: Прямое вычисление из $f(x)$.
При нахождении $n$-ой производной от $f(x)$ все слагаемые $a_k x^k$, где $k < n$, обратятся в ноль. Единственным слагаемым, производная которого не будет нулевой, является слагаемое со старшей степенью $a_n x^n$.
$(a_n x^n)^{(n)} = a_n \cdot n(n-1)...(1) \cdot x^{n-n} = a_n n! x^0 = a_n n!$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $f^{(n)}(x) = a_n n!$.