Номер 5.65, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.65, страница 136.

Условие.

5.65* Пусть при прямолинейном движении тела его координата $x$ (в метрах) меняется по закону:

а) $x(t) = 5t + \sin 3t - 2 \cos \frac{t}{2}$;

б) $x(t) = 3t - \cos 2t + 3 \sin \frac{t}{3}$,

где $t$ — время (в секундах), $t \ge 0$. Найдите начальную скорость и начальное ускорение тела.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения начальной скорости и начального ускорения тела необходимо найти первую и вторую производные от функции координаты $x(t)$ по времени $t$. Скорость $v(t)$ является первой производной, а ускорение $a(t)$ — второй производной.

Начальная скорость — это $v(0)$, а начальное ускорение — это $a(0)$.

а)

Задан закон движения тела: $x(t) = 5t + \sin 3t - 2\cos\frac{t}{2}$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$ как производную от $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = (5t + \sin 3t - 2\cos\frac{t}{2})' = (5t)' + (\sin 3t)' - (2\cos\frac{t}{2})'$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 5 + \cos(3t) \cdot (3t)' - 2(-\sin\frac{t}{2}) \cdot (\frac{t}{2})' = 5 + 3\cos 3t + 2\sin\frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} = 5 + 3\cos 3t + \sin\frac{t}{2}$.

2. Находим начальную скорость, подставив $t=0$ в функцию скорости:

$v(0) = 5 + 3\cos(3 \cdot 0) + \sin(\frac{0}{2}) = 5 + 3\cos 0 + \sin 0 = 5 + 3 \cdot 1 + 0 = 8$ (м/с).

3. Находим функцию ускорения $a(t)$ как производную от $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (5 + 3\cos 3t + \sin\frac{t}{2})' = (5)' + (3\cos 3t)' + (\sin\frac{t}{2})'$.

$a(t) = 0 + 3(-\sin 3t \cdot 3) + \cos\frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} = -9\sin 3t + \frac{1}{2}\cos\frac{t}{2}$.

4. Находим начальное ускорение, подставив $t=0$ в функцию ускорения:

$a(0) = -9\sin(3 \cdot 0) + \frac{1}{2}\cos(\frac{0}{2}) = -9\sin 0 + \frac{1}{2}\cos 0 = -9 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ (м/с²).

Ответ: начальная скорость $v(0) = 8$ м/с, начальное ускорение $a(0) = 0.5$ м/с².

б)

Задан закон движения тела: $x(t) = 3t - \cos 2t + 3\sin\frac{t}{3}$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$ как производную от $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = (3t - \cos 2t + 3\sin\frac{t}{3})' = (3t)' - (\cos 2t)' + (3\sin\frac{t}{3})'$.

$v(t) = 3 - (-\sin 2t \cdot 2) + 3(\cos\frac{t}{3} \cdot \frac{1}{3}) = 3 + 2\sin 2t + \cos\frac{t}{3}$.

2. Находим начальную скорость, подставив $t=0$ в функцию скорости:

$v(0) = 3 + 2\sin(2 \cdot 0) + \cos(\frac{0}{3}) = 3 + 2\sin 0 + \cos 0 = 3 + 2 \cdot 0 + 1 = 4$ (м/с).

3. Находим функцию ускорения $a(t)$ как производную от $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (3 + 2\sin 2t + \cos\frac{t}{3})' = (3)' + (2\sin 2t)' + (\cos\frac{t}{3})'$.

$a(t) = 0 + 2(\cos 2t \cdot 2) - \sin\frac{t}{3} \cdot \frac{1}{3} = 4\cos 2t - \frac{1}{3}\sin\frac{t}{3}$.

4. Находим начальное ускорение, подставив $t=0$ в функцию ускорения:

$a(0) = 4\cos(2 \cdot 0) - \frac{1}{3}\sin(\frac{0}{3}) = 4\cos 0 - \frac{1}{3}\sin 0 = 4 \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 4$ (м/с²).

Ответ: начальная скорость $v(0) = 4$ м/с, начальное ускорение $a(0) = 4$ м/с².