Номер 5.61, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.61, страница 134.

Условие.

5.61* Докажите, что функция $f(x) = x^4 + 4x^3 + 28$ принимает положительные значения для каждого $x \in \mathbb{R}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = x^4 + 4x^3 + 28$ принимает только положительные значения для любого действительного $x$, достаточно найти ее наименьшее (глобальное минимальное) значение и убедиться, что оно положительно. Если наименьшее значение функции больше нуля, то и все остальные ее значения будут строго положительными. Сделаем это двумя способами.

Способ 1: Исследование с помощью производной

Этот метод заключается в нахождении точек экстремума функции с помощью ее производной.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4 + 4x^3 + 28)' = 4x^3 + 12x^2$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 + 12x^2 = 0$

$4x^2(x + 3) = 0$

Критическими точками являются $x = 0$ и $x = -3$.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось:

• При $x < -3$ (например, $x=-4$), $f'(-4) = 4(-4)^2(-4+3) = 64(-1) = -64 < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $-3 < x < 0$ (например, $x=-1$), $f'(-1) = 4(-1)^2(-1+3) = 4(2) = 8 > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x > 0$ (например, $x=1$), $f'(1) = 4(1)^2(1+3) = 16 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x = -3$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой локального минимума. В точке $x = 0$ знак производной не меняется, значит, это точка перегиба, а не экстремум.

4. Так как на бесконечности функция стремится к плюс бесконечности ($\lim_{x \to \pm\infty} (x^4 + 4x^3 + 28) = +\infty$), то найденный локальный минимум является и глобальным минимумом функции.

5. Вычислим значение функции в точке минимума $x = -3$:

$f(-3) = (-3)^4 + 4(-3)^3 + 28 = 81 + 4(-27) + 28 = 81 - 108 + 28 = 1$

Наименьшее значение функции равно 1. Поскольку $1 > 0$, все значения функции $f(x)$ строго положительны.

Способ 2: Алгебраическое преобразование

Этот метод заключается в преобразовании выражения функции к виду, из которого очевидна его положительность.

1. Преобразуем исходное выражение, выделив неотрицательные слагаемые. Заметим, что $f(x) = (x^4 + 4x^3 + 27) + 1$. Докажем, что выражение в скобках неотрицательно.

2. Обозначим многочлен $P(x) = x^4 + 4x^3 + 27$. Из первого способа мы знаем, что его минимум достигается при $x=-3$, и $P(-3) = (-3)^4 + 4(-3)^3 + 27 = 81 - 108 + 27 = 0$. Это означает, что $(x+3)$ является корнем многочлена $P(x)$. Так как это точка минимума, то корень, скорее всего, имеет кратность 2. Проверим, делится ли $P(x)$ на $(x+3)^2 = x^2+6x+9$.

3. Выполним деление многочленов:

$(x^4 + 4x^3 + 27) \div (x^2 + 6x + 9) = x^2 - 2x + 3$

Таким образом, мы можем разложить $P(x)$ на множители:

$P(x) = x^4 + 4x^3 + 27 = (x+3)^2(x^2 - 2x + 3)$

4. Теперь исходную функцию можно записать в виде:

$f(x) = (x+3)^2(x^2 - 2x + 3) + 1$

5. Проанализируем полученное выражение:

• $(x+3)^2$ — это квадрат действительного числа, следовательно, $(x+3)^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
• $x^2 - 2x + 3$ — это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, этот трехчлен принимает только положительные значения. Его можно также представить в виде $x^2 - 2x + 1 + 2 = (x-1)^2 + 2$, откуда видно, что его наименьшее значение равно 2.

6. Произведение неотрицательного множителя $(x+3)^2$ и строго положительного множителя $(x^2 - 2x + 3)$ всегда будет неотрицательным:

$(x+3)^2(x^2 - 2x + 3) \ge 0$

7. Отсюда следует, что:

$f(x) = (x+3)^2(x^2 - 2x + 3) + 1 \ge 0 + 1 = 1$

Мы доказали, что $f(x) \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Поскольку наименьшее значение функции $f(x)$ равно 1, а $1 > 0$, то функция принимает только положительные значения для каждого $x \in \mathbb{R}$, что и требовалось доказать.