Номер 6.1, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.1, страница 170.

Условие.

6.1°

Какую функцию называют первообразной для функции $f(x)$ на интервале $(a; b)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

6.1°

Первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале $(a; b)$ называют такую функцию $F(x)$, которая определена на этом интервале и для всех $x$ из этого интервала ее производная равна $f(x)$.

Иными словами, для всех $x$ из интервала $(a; b)$ должно выполняться равенство:

$F'(x) = f(x)$

Например, для функции $f(x) = 2x$ на интервале $(-\infty; \infty)$ одной из первообразных является функция $F(x) = x^2$, потому что $(\text{x}^2)' = 2x$.

Важно понимать, что если функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа), также будет первообразной для $f(x)$, так как производная от константы равна нулю: $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$.

Ответ: Функцию $F(x)$ называют первообразной для функции $f(x)$ на интервале $(a; b)$, если для всех $x$ из этого интервала выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.