Номер 6.5, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.5, страница 170.
№6.5 (с. 170)
Условие. №6.5 (с. 170)
скриншот условия


Докажите, что функция $F(x)$ есть первообразная для функции $f(x)$, если (6.5—6.6):
6.5 а) $f(x) = (3x + 7)^{10}$, $F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 7)^{11}}{11} + C;$
б) $f(x) = \cos(2x - 1)$, $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C;$
в) $f(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$, $F(x) = -\frac{1}{7}\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C.$
Решение 1. №6.5 (с. 170)



Решение 2. №6.5 (с. 170)


Решение 3. №6.5 (с. 170)


Решение 4. №6.5 (с. 170)
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.
а)
Даны функции $f(x) = (3x + 7)^{10}$ и $F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 7)^{11}}{11} + C = \frac{1}{33}(3x + 7)^{11} + C$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ и правило дифференцирования суммы. Производная константы $C$ равна нулю.
$F'(x) = \left(\frac{1}{33}(3x + 7)^{11} + C\right)' = \frac{1}{33} \cdot \left((3x + 7)^{11}\right)' + (C)'$
$F'(x) = \frac{1}{33} \cdot 11 \cdot (3x + 7)^{11-1} \cdot (3x+7)' + 0$
$F'(x) = \frac{11}{33} \cdot (3x + 7)^{10} \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3x + 7)^{10} = (3x + 7)^{10}$
Так как $F'(x) = (3x + 7)^{10}$ и $f(x) = (3x + 7)^{10}$, то $F'(x) = f(x)$. Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.
б)
Даны функции $f(x) = \cos(2x - 1)$ и $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$. Производная константы $C$ равна нулю.
$F'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C\right)' = \frac{1}{2}(\sin(2x-1))' + (C)'$
$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x - 1) \cdot (2x - 1)' + 0$
$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x - 1) \cdot 2 = \cos(2x - 1)$
Так как $F'(x) = \cos(2x - 1)$ и $f(x) = \cos(2x - 1)$, то $F'(x) = f(x)$. Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.
в)
Даны функции $f(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$ и $F(x) = -\frac{1}{7}\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$. Производная константы $C$ равна нулю.
$F'(x) = \left(-\frac{1}{7}\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C\right)' = -\frac{1}{7}\left(\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' + (C)'$
$F'(x) = -\frac{1}{7} \cdot \left(-\sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot \left(7x - \frac{\pi}{4}\right)' + 0$
$F'(x) = \frac{1}{7} \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot 7 = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$
Так как $F'(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$ и $f(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$, то $F'(x) = f(x)$. Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.5 расположенного на странице 170 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.5 (с. 170), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.