Номер 6.5, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.5, страница 170.

Условие.

Докажите, что функция $F(x)$ есть первообразная для функции $f(x)$, если (6.5—6.6):

6.5 а) $f(x) = (3x + 7)^{10}$, $F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 7)^{11}}{11} + C;$

б) $f(x) = \cos(2x - 1)$, $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C;$

в) $f(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$, $F(x) = -\frac{1}{7}\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

а)

Даны функции $f(x) = (3x + 7)^{10}$ и $F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 7)^{11}}{11} + C = \frac{1}{33}(3x + 7)^{11} + C$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ и правило дифференцирования суммы. Производная константы $C$ равна нулю.
$F'(x) = \left(\frac{1}{33}(3x + 7)^{11} + C\right)' = \frac{1}{33} \cdot \left((3x + 7)^{11}\right)' + (C)'$
$F'(x) = \frac{1}{33} \cdot 11 \cdot (3x + 7)^{11-1} \cdot (3x+7)' + 0$
$F'(x) = \frac{11}{33} \cdot (3x + 7)^{10} \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3x + 7)^{10} = (3x + 7)^{10}$
Так как $F'(x) = (3x + 7)^{10}$ и $f(x) = (3x + 7)^{10}$, то $F'(x) = f(x)$. Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.

б)

Даны функции $f(x) = \cos(2x - 1)$ и $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$. Производная константы $C$ равна нулю.
$F'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C\right)' = \frac{1}{2}(\sin(2x-1))' + (C)'$
$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x - 1) \cdot (2x - 1)' + 0$
$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x - 1) \cdot 2 = \cos(2x - 1)$
Так как $F'(x) = \cos(2x - 1)$ и $f(x) = \cos(2x - 1)$, то $F'(x) = f(x)$. Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.

в)

Даны функции $f(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$ и $F(x) = -\frac{1}{7}\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$. Производная константы $C$ равна нулю.
$F'(x) = \left(-\frac{1}{7}\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C\right)' = -\frac{1}{7}\left(\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' + (C)'$
$F'(x) = -\frac{1}{7} \cdot \left(-\sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot \left(7x - \frac{\pi}{4}\right)' + 0$
$F'(x) = \frac{1}{7} \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot 7 = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$
Так как $F'(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$ и $f(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$, то $F'(x) = f(x)$. Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.