Номер 6.10, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.10, страница 171.
№6.10 (с. 171)
Условие. №6.10 (с. 171)
скриншот условия

6.10* a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$; б) $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$; В) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}}$;
Г) $f(x) = \frac{1}{1 + (3x)^2}$; Д) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}$; е) $f(x) = \frac{1}{1 + 4x^2}$.
Решение 1. №6.10 (с. 171)






Решение 2. №6.10 (с. 171)


Решение 4. №6.10 (с. 171)
а) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
Первообразной для функции $f(x)$ является ее неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x) dx$. В данном случае:
$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$.
Этот интеграл является табличным. Он соответствует производной функции арксинус.
Следовательно, $F(x) = \arcsin(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \arcsin(x) + C$.
б) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$.
Первообразная находится путем вычисления неопределенного интеграла:
$F(x) = \int \frac{1}{1 + x^2} dx$.
Этот интеграл также является табличным и соответствует производной функции арктангенс.
Таким образом, $F(x) = \arctan(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \arctan(x) + C$.
в) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}}$.
Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} dx$.
Для решения этого интеграла используем метод замены переменной. Пусть $u = 2x$. Тогда дифференциал $du = (2x)' dx = 2 dx$, откуда следует, что $dx = \frac{du}{2}$.
Подставим замену в интеграл:
$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du$.
Интеграл $\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du$ является табличным и равен $\arcsin(u)$.
Тогда $F(x) = \frac{1}{2} \arcsin(u) + C$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $2x$ вместо $u$:
$F(x) = \frac{1}{2} \arcsin(2x) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \arcsin(2x) + C$.
г) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{1 + (3x)^2}$.
Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{1 + (3x)^2} dx$.
Применим метод замены переменной. Пусть $u = 3x$. Тогда $du = 3 dx$, и $dx = \frac{du}{3}$.
Выполним подстановку в интеграл:
$F(x) = \int \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u^2} du$.
Интеграл $\int \frac{1}{1 + u^2} du$ является табличным и равен $\arctan(u)$.
Следовательно, $F(x) = \frac{1}{3} \arctan(u) + C$.
Выполним обратную замену $u = 3x$:
$F(x) = \frac{1}{3} \arctan(3x) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \arctan(3x) + C$.
д) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}$.
Сначала преобразуем выражение в знаменателе: $9x^2 = (3x)^2$. Таким образом, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}}$.
Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}} dx$.
Используем замену переменной: пусть $u = 3x$. Тогда $du = 3 dx$, откуда $dx = \frac{du}{3}$.
Подставим в интеграл:
$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du$.
Полученный интеграл является табличным и равен $\arcsin(u)$.
Тогда $F(x) = \frac{1}{3} \arcsin(u) + C$.
Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем:
$F(x) = \frac{1}{3} \arcsin(3x) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \arcsin(3x) + C$.
е) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{1 + 4x^2}$.
Преобразуем знаменатель: $4x^2 = (2x)^2$. Тогда $f(x) = \frac{1}{1 + (2x)^2}$.
Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{1 + (2x)^2} dx$.
Применим замену переменной: пусть $u = 2x$. Тогда $du = 2 dx$, откуда $dx = \frac{du}{2}$.
Подставим в интеграл:
$F(x) = \int \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^2} du$.
Полученный интеграл является табличным и равен $\arctan(u)$.
Следовательно, $F(x) = \frac{1}{2} \arctan(u) + C$.
Выполним обратную замену $u = 2x$:
$F(x) = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.10 расположенного на странице 171 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.10 (с. 171), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.