Номер 6.10, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.10, страница 171.

Условие.

6.10* a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$; б) $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$; В) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}}$;

Г) $f(x) = \frac{1}{1 + (3x)^2}$; Д) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}$; е) $f(x) = \frac{1}{1 + 4x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

Первообразной для функции $f(x)$ является ее неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x) dx$. В данном случае:

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$.

Этот интеграл является табличным. Он соответствует производной функции арксинус.

Следовательно, $F(x) = \arcsin(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \arcsin(x) + C$.

б) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$.

Первообразная находится путем вычисления неопределенного интеграла:

$F(x) = \int \frac{1}{1 + x^2} dx$.

Этот интеграл также является табличным и соответствует производной функции арктангенс.

Таким образом, $F(x) = \arctan(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \arctan(x) + C$.

в) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}}$.

Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} dx$.

Для решения этого интеграла используем метод замены переменной. Пусть $u = 2x$. Тогда дифференциал $du = (2x)' dx = 2 dx$, откуда следует, что $dx = \frac{du}{2}$.

Подставим замену в интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du$.

Интеграл $\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du$ является табличным и равен $\arcsin(u)$.

Тогда $F(x) = \frac{1}{2} \arcsin(u) + C$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $2x$ вместо $u$:

$F(x) = \frac{1}{2} \arcsin(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \arcsin(2x) + C$.

г) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{1 + (3x)^2}$.

Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{1 + (3x)^2} dx$.

Применим метод замены переменной. Пусть $u = 3x$. Тогда $du = 3 dx$, и $dx = \frac{du}{3}$.

Выполним подстановку в интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u^2} du$.

Интеграл $\int \frac{1}{1 + u^2} du$ является табличным и равен $\arctan(u)$.

Следовательно, $F(x) = \frac{1}{3} \arctan(u) + C$.

Выполним обратную замену $u = 3x$:

$F(x) = \frac{1}{3} \arctan(3x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \arctan(3x) + C$.

д) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}$.

Сначала преобразуем выражение в знаменателе: $9x^2 = (3x)^2$. Таким образом, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}}$.

Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}} dx$.

Используем замену переменной: пусть $u = 3x$. Тогда $du = 3 dx$, откуда $dx = \frac{du}{3}$.

Подставим в интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du$.

Полученный интеграл является табличным и равен $\arcsin(u)$.

Тогда $F(x) = \frac{1}{3} \arcsin(u) + C$.

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{3} \arcsin(3x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \arcsin(3x) + C$.

е) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{1 + 4x^2}$.

Преобразуем знаменатель: $4x^2 = (2x)^2$. Тогда $f(x) = \frac{1}{1 + (2x)^2}$.

Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{1 + (2x)^2} dx$.

Применим замену переменной: пусть $u = 2x$. Тогда $du = 2 dx$, откуда $dx = \frac{du}{2}$.

Подставим в интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^2} du$.

Полученный интеграл является табличным и равен $\arctan(u)$.

Следовательно, $F(x) = \frac{1}{2} \arctan(u) + C$.

Выполним обратную замену $u = 2x$:

$F(x) = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C$.