Номер 6.11, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.11, страница 171.

Условие.

6.11° a) Что называют неопределённым интегралом от непрерывной на интервале $(a; b)$ функции $f(x)$?

б) Как обозначают неопределённый интеграл?

в) Как проверить правильность нахождения неопределённого интеграла?

г) В чём заключается основное свойство неопределённого интеграла?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Неопределённым интегралом от непрерывной на интервале $(a; b)$ функции $f(x)$ называют совокупность всех её первообразных на этом интервале. Первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале называется такая функция $F(x)$, производная которой для всех $x$ из этого интервала равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Если $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$, то любая другая первообразная имеет вид $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа). Таким образом, неопределённый интеграл представляет собой семейство функций.

Ответ: Совокупность всех первообразных $F(x) + C$ для функции $f(x)$ на интервале $(a; b)$.

б) Неопределённый интеграл от функции $f(x)$ по переменной $x$ обозначается следующим образом:

$\int f(x) \,dx$

Здесь:

• $\int$ — знак интеграла.
• $f(x)$ — подынтегральная функция.
• $f(x) \,dx$ — подынтегральное выражение.
• $dx$ — дифференциал переменной интегрирования, который указывает, по какой переменной производится интегрирование.

Ответ: Неопределённый интеграл обозначается как $\int f(x) \,dx$.

в) Правильность нахождения неопределённого интеграла проверяется с помощью дифференцирования. Интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями.

Если в результате интегрирования функции $f(x)$ получено выражение $F(x) + C$, то есть $\int f(x) \,dx = F(x) + C$, то для проверки необходимо найти производную от результата:

$(F(x) + C)' = F'(x) + (C)' = F'(x) + 0 = F'(x)$

Если производная $F'(x)$ равна исходной подынтегральной функции $f(x)$, то неопределённый интеграл найден правильно.

Ответ: Нужно продифференцировать полученный результат. Производная от результата должна быть равна исходной подынтегральной функции.

г) Основное свойство неопределённого интеграла заключается в том, что производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции. Математически это свойство записывается так:

$(\int f(x) \,dx)' = f(x)$

Это свойство подчёркивает, что операция дифференцирования является обратной к операции интегрирования. Также это свойство можно записать в виде дифференциалов: дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.

$d(\int f(x) \,dx) = f(x) \,dx$

Ответ: Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.