Номер 6.16, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.16, страница 172.

Условие.

6.16* a) $\int \frac{dx}{1 + \cos 2x}$;

б) $\int \frac{dx}{1 - \cos 2x}$;

в) $\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx$;

г) $\int \sin x \cos x dx$;

д) $\int (\sin 5x \cos 4x + \sin 4x \cos 5x) dx$;

е) $\int (\cos 2x \cos 3x - \sin 2x \sin 3x) dx$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения интеграла $\int \frac{dx}{1 + \cos 2x}$ воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
Подставляем это выражение в подынтегральную функцию:
$\int \frac{dx}{1 + \cos 2x} = \int \frac{dx}{2\cos^2 x}$
Выносим константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:
$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$
Данный интеграл является табличным: $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.
Таким образом, получаем окончательное решение:
$\frac{1}{2} \tan x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $\frac{1}{2} \tan x + C$.

б) Для нахождения интеграла $\int \frac{dx}{1 - \cos 2x}$ воспользуемся другой тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.
Подставляем это выражение в подынтегральную функцию:
$\int \frac{dx}{1 - \cos 2x} = \int \frac{dx}{2\sin^2 x}$
Выносим константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:
$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$
Данный интеграл является табличным: $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.
Таким образом, получаем окончательное решение:
$-\frac{1}{2} \cot x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $-\frac{1}{2} \cot x + C$.

в) Для нахождения интеграла $\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Интеграл принимает вид:
$\int \cos 2x \, dx$
Это табличный интеграл вида $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. В нашем случае $k=2$.
Следовательно, решение:
$\frac{1}{2} \sin 2x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $\frac{1}{2} \sin 2x + C$.

г) Для нахождения интеграла $\int \sin x \cos x \, dx$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, откуда следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$.
Подставляем это выражение в интеграл:
$\int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx$
Это табличный интеграл вида $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. В нашем случае $k=2$.
Получаем:
$\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) + C = -\frac{1}{4} \cos 2x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $-\frac{1}{4} \cos 2x + C$.

д) Для нахождения интеграла $\int (\sin 5x \cos 4x + \sin 4x \cos 5x) dx$ заметим, что выражение в скобках соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 4x$.
Таким образом, подынтегральная функция упрощается до $\sin(5x + 4x) = \sin 9x$.
Интеграл принимает вид:
$\int \sin 9x \, dx$
Интегрируем, используя правило $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$:
$-\frac{1}{9} \cos 9x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $-\frac{1}{9} \cos 9x + C$.

е) Для нахождения интеграла $\int (\cos 2x \cos 3x - \sin 2x \sin 3x) dx$ заметим, что выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$.
Таким образом, подынтегральная функция упрощается до $\cos(2x + 3x) = \cos 5x$.
Интеграл принимает вид:
$\int \cos 5x \, dx$
Интегрируем, используя правило $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$:
$\frac{1}{5} \sin 5x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $\frac{1}{5} \sin 5x + C$.