Номер 6.21, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.21, страница 175.

Условие.

6.21 a) $\int x \sqrt{1 + x^2} dx;$

B) $\int x \sqrt{4 + x^2} dx;$

б) $\int 5x \sqrt{1 + 4x^2} dx;$

Г) $\int x \sqrt{9 + x^2} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\int x\sqrt{1+x^2}dx$

Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Сделаем замену:

$t = 1+x^2$

Найдем дифференциал от $t$:

$dt = d(1+x^2) = (1+x^2)'dx = 2x \, dx$

Из этого выражения получим $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.

Подставим $t$ и $dt$ в исходный интеграл:

$\int x\sqrt{1+x^2}dx = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{1/2} dt$

Теперь найдем интеграл по $t$ по формуле для степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C$

Выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его выражение через $x$:

$\frac{1}{3} (1+x^2)^{3/2} + C$

Ответ: $\frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2} + C$.

б) $\int 5x\sqrt{1+4x^2}dx$

Сначала вынесем константу $5$ за знак интеграла:

$5 \int x\sqrt{1+4x^2}dx$

Применим метод замены переменной. Пусть $t = 1+4x^2$.

Найдем дифференциал $dt$:

$dt = d(1+4x^2) = (1+4x^2)'dx = 8x \, dx$

Отсюда выразим $x \, dx = \frac{1}{8} dt$.

Подставим в интеграл:

$5 \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{8} dt = \frac{5}{8} \int t^{1/2} dt$

Интегрируем по $t$, используя формулу для степенной функции:

$\frac{5}{8} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{10}{24} t^{3/2} + C = \frac{5}{12} t^{3/2} + C$

Выполним обратную замену $t = 1+4x^2$:

$\frac{5}{12} (1+4x^2)^{3/2} + C$

Ответ: $\frac{5}{12}(1+4x^2)^{3/2} + C$.

в) $\int x\sqrt{4+x^2}dx$

Решим интеграл методом замены переменной. Пусть $t = 4+x^2$.

Тогда дифференциал $dt = d(4+x^2) = 2x \, dx$, откуда получаем $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.

Подставим новую переменную в интеграл:

$\int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{1/2} dt$

Проинтегрируем по $t$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C$

Теперь выполним обратную замену, подставив $4+x^2$ вместо $t$:

$\frac{1}{3} (4+x^2)^{3/2} + C$

Ответ: $\frac{1}{3}(4+x^2)^{3/2} + C$.

г) $\int x\sqrt{9+x^2}dx$

Используем метод замены переменной. Пусть $t = 9+x^2$.

Найдем дифференциал $dt = d(9+x^2) = 2x \, dx$, откуда следует, что $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.

Подставим полученные выражения в интеграл:

$\int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{1/2} dt$

Найдем интеграл от степенной функции:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C$

Выполним обратную замену $t = 9+x^2$:

$\frac{1}{3} (9+x^2)^{3/2} + C$

Ответ: $\frac{1}{3}(9+x^2)^{3/2} + C$.