Номер 6.19, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.19, страница 175.

Условие.

Найдите неопределенный интеграл, используя замену переменной (6.19—6.23):

6.19 а) $\int e^{3x} dx$;

б) $\int 9^{2x} dx$;

в) $\int \sin 7x dx$;

г) $\int \cos 4x dx$;

д) $\int \sqrt{7x - 2} dx$;

е) $\int \sqrt[3]{(2x + 1)^2} dx$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для вычисления интеграла $\int e^{3x} dx$ применим метод замены переменной. Введем новую переменную $t = 3x$. Найдем ее дифференциал: $dt = (3x)'dx = 3dx$. Отсюда выразим $dx$: $dx = \frac{dt}{3}$. Подставим новую переменную и ее дифференциал в исходный интеграл:$\int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt$.Теперь вычислим полученный интеграл по переменной $t$, используя табличный интеграл для экспоненты:$\frac{1}{3} \int e^t dt = \frac{1}{3} e^t + C$, где $C$ — произвольная постоянная.В завершение выполним обратную замену, подставив $3x$ вместо $t$, чтобы вернуться к исходной переменной:$\frac{1}{3} e^{3x} + C$.Ответ: $\frac{1}{3}e^{3x} + C$.

б) Найдем интеграл $\int 9^{2x} dx$, используя замену переменной. Пусть $t = 2x$. Тогда дифференциал $dt$ равен $dt = (2x)'dx = 2dx$. Отсюда получаем $dx = \frac{dt}{2}$. Сделаем подстановку в интеграл:$\int 9^{2x}dx = \int 9^t \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int 9^t dt$.Воспользуемся формулой для интеграла показательной функции $\int a^t dt = \frac{a^t}{\ln a} + C$:$\frac{1}{2} \cdot \frac{9^t}{\ln 9} + C = \frac{9^t}{2\ln 9} + C$.Выполним обратную замену $t = 2x$:$\frac{9^{2x}}{2\ln 9} + C$.Ответ: $\frac{9^{2x}}{2\ln 9} + C$.

в) Вычислим интеграл $\int \sin(7x) dx$. Применим метод замены переменной. Введем переменную $t = 7x$. Найдем ее дифференциал: $dt = (7x)'dx = 7dx$, следовательно, $dx = \frac{dt}{7}$. Подставим в исходный интеграл:$\int \sin(7x)dx = \int \sin(t) \frac{dt}{7} = \frac{1}{7}\int \sin(t) dt$.Используем табличный интеграл $\int \sin(t) dt = -\cos(t) + C$:$\frac{1}{7}(-\cos(t)) + C = -\frac{1}{7}\cos(t) + C$.Возвращаемся к исходной переменной, подставляя $t = 7x$:$-\frac{1}{7}\cos(7x) + C$.Ответ: $-\frac{1}{7}\cos(7x) + C$.

г) Найдем интеграл $\int \cos(4x) dx$. Сделаем замену переменной: $t = 4x$. Дифференциал новой переменной: $dt = (4x)'dx = 4dx$, откуда $dx = \frac{dt}{4}$. Выполним подстановку в интеграл:$\int \cos(4x)dx = \int \cos(t) \frac{dt}{4} = \frac{1}{4}\int \cos(t) dt$.Интеграл от косинуса равен синусу: $\int \cos(t) dt = \sin(t) + C$.Таким образом, получаем:$\frac{1}{4}\sin(t) + C$.Делаем обратную замену $t = 4x$:$\frac{1}{4}\sin(4x) + C$.Ответ: $\frac{1}{4}\sin(4x) + C$.

д) Вычислим интеграл $\int \sqrt{7x-2} dx$. Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\int (7x-2)^{1/2} dx$. Введем замену: $t = 7x-2$. Найдем дифференциал: $dt = (7x-2)'dx = 7dx$, откуда $dx = \frac{dt}{7}$. Подставим в интеграл:$\int (7x-2)^{1/2}dx = \int t^{1/2} \frac{dt}{7} = \frac{1}{7}\int t^{1/2} dt$.Используем формулу для интеграла степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:$\frac{1}{7} \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{1}{7} \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{21}t^{3/2} + C$.Выполним обратную замену $t = 7x-2$:$\frac{2}{21}(7x-2)^{3/2} + C$.Ответ: $\frac{2}{21}(7x-2)^{3/2} + C$.

е) Найдем интеграл $\int \sqrt[3]{(2x+1)^2} dx$. Перепишем подынтегральное выражение в виде степени: $\int (2x+1)^{2/3} dx$. Сделаем замену переменной: $t = 2x+1$. Дифференциал: $dt = (2x+1)'dx = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$. Подставим в интеграл:$\int (2x+1)^{2/3} dx = \int t^{2/3} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int t^{2/3} dt$.Применим формулу для интеграла степенной функции:$\frac{1}{2} \frac{t^{2/3+1}}{2/3+1} + C = \frac{1}{2} \frac{t^{5/3}}{5/3} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} t^{5/3} + C = \frac{3}{10}t^{5/3} + C$.Возвращаемся к переменной $x$, подставляя $t = 2x+1$:$\frac{3}{10}(2x+1)^{5/3} + C$.Ответ: $\frac{3}{10}(2x+1)^{5/3} + C$.