Номер 6.23, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.23, страница 175.

Условие.

6.23* а) $\int \sqrt{1 - x^2} dx$;

б) $\int \sqrt{4 - x^2} dx$;

в) $\int \sqrt{1 - 4x^2} dx$;

г) $\int \sqrt{1 - 9x^2} dx$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данные интегралы относятся к типу интегралов от иррациональных функций вида $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx$, для решения которых используется тригонометрическая подстановка. Общая формула для такого интеграла:$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$.Ниже представлено подробное решение для каждого из заданий.

а) $\int \sqrt{1 - x^2} dx$

Это базовый случай, где $a=1$. Для его решения применим тригонометрическую замену.

Пусть $x = \sin(t)$. Тогда $dx = \cos(t) dt$. Чтобы замена была однозначной и $\sqrt{\cos^2(t)} = \cos(t)$, выберем $t \in [-\pi/2, \pi/2]$.

Подставляем в интеграл:

$\int \sqrt{1 - \sin^2(t)} \cos(t) dt = \int \sqrt{\cos^2(t)} \cos(t) dt = \int \cos(t) \cdot \cos(t) dt = \int \cos^2(t) dt$.

Для вычисления интеграла от $\cos^2(t)$ используем формулу понижения степени: $\cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$.

$\int \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2t)) dt = \frac{1}{2} \left(t + \frac{1}{2}\sin(2t)\right) + C$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену. Из $x = \sin(t)$ следует, что $t = \arcsin(x)$.

Для выражения $\sin(2t)$ через $x$ используем формулу двойного угла: $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$.

Мы знаем, что $\sin(t) = x$. Тогда $\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - x^2}$ (косинус неотрицателен, т.к. $t \in [-\pi/2, \pi/2]$).

Таким образом, $\sin(2t) = 2x\sqrt{1 - x^2}$.

Подставляем найденные выражения обратно в результат интегрирования:

$\frac{1}{2} \left(t + \frac{1}{2}\sin(2t)\right) + C = \frac{1}{2} \left(\arcsin(x) + \frac{1}{2}(2x\sqrt{1-x^2})\right) + C = \frac{1}{2}\arcsin(x) + \frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + C$.

Ответ: $\frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\arcsin(x) + C$.

б) $\int \sqrt{4 - x^2} dx$

Данный интеграл имеет вид $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx$, где $a=2$. Применим тригонометрическую замену $x = 2\sin(t)$.

Тогда $dx = 2\cos(t) dt$. Выбираем $t \in [-\pi/2, \pi/2]$.

Подставляем в интеграл:

$\int \sqrt{4 - (2\sin(t))^2} \cdot 2\cos(t) dt = \int \sqrt{4 - 4\sin^2(t)} \cdot 2\cos(t) dt = \int \sqrt{4(1 - \sin^2(t))} \cdot 2\cos(t) dt$

$= \int 2\sqrt{\cos^2(t)} \cdot 2\cos(t) dt = \int 4\cos^2(t) dt$.

Используем формулу понижения степени:

$4 \int \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = 2 \int (1 + \cos(2t)) dt = 2 \left(t + \frac{1}{2}\sin(2t)\right) + C = 2t + \sin(2t) + C$.

Выполняем обратную замену. Из $x = 2\sin(t)$ следует, что $\sin(t) = \frac{x}{2}$, а $t = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$.

$\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = x\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = x\frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} = \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2}$.

Подставляем обратно:

$2t + \sin(2t) + C = 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2} + C$.

Ответ: $\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C$.

в) $\int \sqrt{1 - 4x^2} dx$

Перепишем подынтегральное выражение: $\int \sqrt{1 - (2x)^2} dx$.

Сделаем замену переменной. Пусть $u = 2x$, тогда $du = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}du$.

Подставляем в интеграл:

$\int \sqrt{1 - u^2} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int \sqrt{1 - u^2} du$.

Интеграл $\int \sqrt{1 - u^2} du$ был решен в пункте а). Используем его результат:

$\frac{1}{2} \left(\frac{u}{2}\sqrt{1 - u^2} + \frac{1}{2}\arcsin(u)\right) + C_1 = \frac{u}{4}\sqrt{1 - u^2} + \frac{1}{4}\arcsin(u) + C_1$.

Теперь выполним обратную замену $u=2x$:

$\frac{2x}{4}\sqrt{1 - (2x)^2} + \frac{1}{4}\arcsin(2x) + C = \frac{x}{2}\sqrt{1 - 4x^2} + \frac{1}{4}\arcsin(2x) + C$.

Ответ: $\frac{x}{2}\sqrt{1 - 4x^2} + \frac{1}{4}\arcsin(2x) + C$.

г) $\int \sqrt{1 - 9x^2} dx$

Перепишем подынтегральное выражение: $\int \sqrt{1 - (3x)^2} dx$.

Сделаем замену переменной. Пусть $u = 3x$, тогда $du = 3dx$, откуда $dx = \frac{1}{3}du$.

Подставляем в интеграл:

$\int \sqrt{1 - u^2} \cdot \frac{1}{3}du = \frac{1}{3} \int \sqrt{1 - u^2} du$.

Используем результат из пункта а):

$\frac{1}{3} \left(\frac{u}{2}\sqrt{1 - u^2} + \frac{1}{2}\arcsin(u)\right) + C_1 = \frac{u}{6}\sqrt{1 - u^2} + \frac{1}{6}\arcsin(u) + C_1$.

Выполним обратную замену $u=3x$:

$\frac{3x}{6}\sqrt{1 - (3x)^2} + \frac{1}{6}\arcsin(3x) + C = \frac{x}{2}\sqrt{1 - 9x^2} + \frac{1}{6}\arcsin(3x) + C$.

Ответ: $\frac{x}{2}\sqrt{1 - 9x^2} + \frac{1}{6}\arcsin(3x) + C$.