Номер 6.29, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.29, страница 178.

№6.29 (с. 178)
Условие. №6.29 (с. 178)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 178, номер 6.29, Условие

6.29 а) По плану задания 6.27 вычислите интегральные суммы $S_1, S_2, S_3, S_4$ для функции $y = x + 1, x \in [0; 1]$.

б) Существует ли предел интегральной суммы $S_n$ при $n \rightarrow +\infty$? Если да, то чему он равен?

в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми $y = x + 1, y = 0, x = 1$?

Решение 1. №6.29 (с. 178)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 178, номер 6.29, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 178, номер 6.29, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 178, номер 6.29, Решение 1 (продолжение 3)
Решение 2. №6.29 (с. 178)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 178, номер 6.29, Решение 2
Решение 4. №6.29 (с. 178)

а) Для вычисления интегральных сумм $S_n$ будем использовать стандартный подход: отрезок $[a, b]$ разбивается на $n$ равных подынтервалов, а в качестве точек $c_i$ для вычисления значения функции выбираются правые концы этих подынтервалов. Это наиболее распространенная интерпретация для подобных заданий, соответствующая "плану задания 6.27".
Дана функция $y=x+1$ на отрезке $x \in [0; 1]$.
Общая формула для интегральной суммы (суммы Римана) имеет вид: $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i$.
В нашем случае:

  • Функция $f(x) = x+1$.
  • Отрезок $[a, b] = [0, 1]$.
  • Длина каждого подынтервала $\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$.
  • Правые концы подынтервалов (точки $c_i$): $x_i = a + i\Delta x = 0 + i \cdot \frac{1}{n} = \frac{i}{n}$.

Вычислим интегральные суммы для $n = 1, 2, 3, 4$.
1. При $n=1$: $\Delta x = 1, x_1=1$.
$S_1 = f(x_1) \cdot \Delta x = f(1) \cdot 1 = (1+1) \cdot 1 = 2$.
2. При $n=2$: $\Delta x = 1/2, x_1=1/2, x_2=1$.
$S_2 = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x = f(1/2) \cdot \frac{1}{2} + f(1) \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}+1\right) \cdot \frac{1}{2} + (1+1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.
3. При $n=3$: $\Delta x = 1/3, x_1=1/3, x_2=2/3, x_3=1$.
$S_3 = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x = \left(\frac{1}{3}+1\right)\frac{1}{3} + \left(\frac{2}{3}+1\right)\frac{1}{3} + (1+1)\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\frac{1}{3} + \frac{5}{3}\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3} = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} + \frac{6}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.
4. При $n=4$: $\Delta x = 1/4, x_1=1/4, x_2=2/4, x_3=3/4, x_4=1$.
$S_4 = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x = \left(\frac{1}{4}+1\right)\frac{1}{4} + \left(\frac{2}{4}+1\right)\frac{1}{4} + \left(\frac{3}{4}+1\right)\frac{1}{4} + (1+1)\frac{1}{4} = \frac{5}{16} + \frac{6}{16} + \frac{7}{16} + \frac{8}{16} = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}$.
Ответ: $S_1 = 2, S_2 = \frac{7}{4}, S_3 = \frac{5}{3}, S_4 = \frac{13}{8}$.

б) Да, предел интегральной суммы $S_n$ при $n \to +\infty$ существует. Это следует из того, что функция $y=x+1$ непрерывна на отрезке $[0; 1]$, а любая непрерывная на отрезке функция является интегрируемой на нем. Предел интегральных сумм равен определенному интегралу.
Для нахождения этого предела выведем общую формулу для $S_n$:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n} + 1\right) \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n} + 1\right) = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 1 \right)$.
Используя формулу для суммы первых $n$ натуральных чисел $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ и то, что $\sum_{i=1}^{n} 1 = n$, получаем:
$S_n = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \right) = \frac{1}{n} \left( \frac{n+1}{2} + n \right) = \frac{n+1}{2n} + \frac{n}{n} = \frac{n}{2n} + \frac{1}{2n} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2n}$.
Теперь найдем предел при $n \to +\infty$:
$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2n}\right) = \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}$.
Проверим результат, вычислив определенный интеграл:
$\int_{0}^{1} (x+1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} + 1\right) - \left(\frac{0^2}{2} + 0\right) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
Значения совпадают.
Ответ: Да, предел существует и равен $\frac{3}{2}$.

в) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной прямыми $y = x + 1$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 1$. В условии не указана левая граница области. Исходя из контекста задачи (в частности, отрезка $[0; 1]$ из пункта а)), логично предположить, что четвертой границей является прямая $x=0$ (ось Oy).
Площадь $S$ такой фигуры (криволинейной трапеции) численно равна определенному интегралу от функции $y=x+1$ в пределах от $x=0$ до $x=1$:
$S = \int_{0}^{1} (x+1) dx$.
Как было вычислено в пункте б), значение этого интеграла равно $\frac{3}{2}$.
$S = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} + 1\right) - (0) = \frac{3}{2}$.
Эту же площадь можно найти и геометрически. Фигура, ограниченная прямыми $y=x+1, y=0, x=0, x=1$, является прямоугольной трапецией с вершинами в точках $(0,0), (1,0), (1,2)$ и $(0,1)$.
Ее параллельные стороны (основания) равны $b_1 = 1$ (значение $y$ при $x=0$) и $b_2 = 2$ (значение $y$ при $x=1$). Высота трапеции $h=1$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$:
$S = \frac{1+2}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.
Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{3}{2}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.29 расположенного на странице 178 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.29 (с. 178), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.