Номер 6.34, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.34, страница 181.

Условие.

6.34* a) $\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$;

б) $\int_{-1}^{1} (-\sqrt{1 - x^2}) dx$;

В) $\int_{-3}^{0} \sqrt{9 - x^2} dx$;

Г) $\int_{0}^{4} (-\sqrt{16 - x^2}) dx$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Данный определенный интеграл $\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$ можно вычислить, используя его геометрический смысл. Функция $y = \sqrt{1 - x^2}$ задает верхнюю половину окружности $x^2 + y^2 = 1^2$, так как $y \ge 0$. Эта окружность имеет центр в начале координат $(0, 0)$ и радиус $R = 1$. Пределы интегрирования от $-1$ до $1$ соответствуют полному диаметру окружности вдоль оси Ox. Таким образом, значение интеграла равно площади полукруга радиуса 1. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Площадь полукруга равна $S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$. Следовательно, $\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) Рассмотрим интеграл $\int_{-1}^{1} (-\sqrt{1 - x^2}) dx$. Подынтегральная функция $y = -\sqrt{1 - x^2}$ задает нижнюю половину окружности $x^2 + y^2 = 1^2$ с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$, так как $y \le 0$. Пределы интегрирования от $-1$ до $1$ означают, что мы рассматриваем всю нижнюю половину окружности. Поскольку график функции лежит ниже оси Ox, значение определенного интеграла будет отрицательным и равным площади соответствующей фигуры, взятой со знаком минус. Площадь полукруга радиуса 1 равна $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, значение интеграла равно $-\frac{\pi}{2}$. Также можно воспользоваться свойством интеграла: $\int_{-1}^{1} (-\sqrt{1 - x^2}) dx = - \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

в) Рассмотрим интеграл $\int_{-3}^{0} \sqrt{9 - x^2} dx$. Функция $y = \sqrt{9 - x^2}$ является уравнением верхней половины окружности $x^2 + y^2 = 9$, или $x^2 + y^2 = 3^2$. Это окружность с центром в начале координат и радиусом $R = 3$. Пределы интегрирования от $-3$ до $0$. Это означает, что мы ищем площадь под кривой, ограниченной отрезком $[-3, 0]$ оси Ох, что соответствует площади четверти круга, расположенной во второй координатной четверти. Эта площадь составляет одну четверть от площади всего круга. Площадь круга радиуса 3 равна $S = \pi R^2 = \pi (3)^2 = 9\pi$. Площадь четверти круга равна $S_{четверти} = \frac{1}{4} S = \frac{9\pi}{4}$. Таким образом, $\int_{-3}^{0} \sqrt{9 - x^2} dx = \frac{9\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{9\pi}{4}$

г) Рассмотрим интеграл $\int_{0}^{4} (-\sqrt{16 - x^2}) dx$. Подынтегральная функция $y = -\sqrt{16 - x^2}$ задает нижнюю половину окружности $x^2 + y^2 = 16$, или $x^2 + y^2 = 4^2$. Это окружность с центром в начале координат и радиусом $R = 4$. Пределы интегрирования от $0$ до $4$. Это означает, что мы рассматриваем область, ограниченную графиком функции и отрезком $[0, 4]$ оси Ох, что соответствует части круга в четвертой координатной четверти. Так как график функции находится под осью Ox, значение интеграла будет отрицательным. Величина интеграла по модулю равна площади четверти круга радиуса 4. Площадь всего круга равна $S = \pi R^2 = \pi (4)^2 = 16\pi$. Площадь четверти круга равна $S_{четверти} = \frac{1}{4} S = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$. Поскольку область находится ниже оси Ox, интеграл равен $-4\pi$.

Ответ: $-4\pi$