Номер 6.41, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.41, страница 184.

Условие.

6.41 Вычислите приближённо определённый интеграл:

a) $\int_{1}^{2} x^2 dx;$

б) $\int_{1}^{2} (-x^2) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для вычисления данных определённых интегралов можно использовать как точную формулу Ньютона-Лейбница, так и численные методы для приближённого расчёта. Поскольку в задании требуется найти приближённое значение, мы воспользуемся методом трапеций, который является одним из распространённых способов численного интегрирования. Для справки также приведём точное значение интеграла.

а) $\int_{1}^{2} x^2 dx$

Сначала найдём точное значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $f(x) = x^2$ есть $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

$\int_{1}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.333...$

Теперь вычислим интеграл приближённо методом трапеций. Разобьём отрезок интегрирования $[1, 2]$ на $n=5$ равных частей. Шаг интегрирования будет равен $\Delta x = \frac{2-1}{5} = 0.2$.

Определим значения функции $f(x)=x^2$ в узловых точках:

• $x_0 = 1.0, \quad y_0 = f(1.0) = 1.00$
• $x_1 = 1.2, \quad y_1 = f(1.2) = 1.44$
• $x_2 = 1.4, \quad y_2 = f(1.4) = 1.96$
• $x_3 = 1.6, \quad y_3 = f(1.6) = 2.56$
• $x_4 = 1.8, \quad y_4 = f(1.8) = 3.24$
• $x_5 = 2.0, \quad y_5 = f(2.0) = 4.00$

Формула трапеций имеет вид:

$\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{\Delta x}{2}(y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \dots + 2y_{n-1} + y_n)$

Подставляем наши данные:

$\int_{1}^{2} x^2 dx \approx \frac{0.2}{2}(1.00 + 2 \cdot 1.44 + 2 \cdot 1.96 + 2 \cdot 2.56 + 2 \cdot 3.24 + 4.00)$

$\int_{1}^{2} x^2 dx \approx 0.1(1 + 2.88 + 3.92 + 5.12 + 6.48 + 4) = 0.1(23.4) = 2.34$

Полученное приближённое значение $2.34$ достаточно близко к точному значению $\frac{7}{3}$.

Ответ: $2.34$

б) $\int_{1}^{2} (-x^2) dx$

Воспользуемся свойством линейности интеграла: $\int (-f(x))dx = -\int f(x)dx$.

Точное значение интеграла:

$\int_{1}^{2} (-x^2) dx = - \int_{1}^{2} x^2 dx = -\frac{7}{3} \approx -2.333...$

Для приближённого вычисления также можно использовать результат из пункта а):

$\int_{1}^{2} (-x^2) dx \approx -2.34$

Проверим это, применив метод трапеций напрямую к функции $g(x) = -x^2$. Значения функции в узловых точках будут такими же, как в пункте а), но с противоположным знаком.

$\int_{1}^{2} (-x^2) dx \approx \frac{0.2}{2}(-1.00 + 2(-1.44) + 2(-1.96) + 2(-2.56) + 2(-3.24) - 4.00)$

$\int_{1}^{2} (-x^2) dx \approx 0.1(-1 - 2.88 - 3.92 - 5.12 - 6.48 - 4) = 0.1(-23.4) = -2.34$

Результат совпадает.

Ответ: $-2.34$