Номер 6.40, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.40, страница 184.

Условие.

6.40 a) В предыдущем задании вычислите определённый интеграл как площадь треугольника и сравните результаты вычислений.

б) Объясните, почему для линейной функции приближённый метод вычисления определённого интеграла даёт точный результат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для ответа на этот вопрос необходимо знать, какой интеграл вычислялся в предыдущем задании. Предположим, что в задании 6.39 требовалось вычислить определённый интеграл $\int_0^3 x \,dx$ с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Вычисление по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_0^3 x \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^3 = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Теперь вычислим этот интеграл как площадь фигуры. Определённый интеграл от неотрицательной функции на отрезке геометрически равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, осью абсцисс и вертикальными прямыми, соответствующими пределам интегрирования.

В нашем случае подынтегральная функция $f(x) = x$. На отрезке $[0, 3]$ эта функция задаёт фигуру, которая является прямоугольным треугольником. Вершины этого треугольника находятся в точках $(0, 0)$, $(3, 0)$ и $(3, f(3))$, то есть $(3, 3)$.

Катеты этого прямоугольного треугольника равны:

• Основание (катет вдоль оси Ox): $3 - 0 = 3$.
• Высота (катет вдоль прямой $x=3$): $f(3) - 0 = 3$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$.

Сравнивая результаты, мы видим, что значение, полученное при вычислении интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (4.5), и значение, полученное при вычислении площади треугольника (4.5), полностью совпадают.

Ответ: Значение интеграла, вычисленное как площадь треугольника, равно 4.5, что совпадает с результатом, полученным по формуле Ньютона-Лейбница.

б)

Приближённые методы вычисления определённого интеграла, например, метод трапеций, основаны на замене (аппроксимации) графика подынтегральной функции на каждом малом отрезке интегрирования более простой функцией, как правило, отрезком прямой.

Рассмотрим метод трапеций. Отрезок интегрирования $[a, b]$ разбивается на $n$ малых отрезков $[x_{i}, x_{i+1}]$. На каждом таком отрезке кривая $y=f(x)$ заменяется хордой — отрезком прямой, соединяющим точки $(x_i, f(x_i))$ и $(x_{i+1}, f(x_{i+1}))$. В результате площадь под кривой на этом малом отрезке приближенно равна площади трапеции.

Линейная функция имеет вид $f(x) = kx + c$, и её график сам по себе является прямой линией.

Когда мы применяем приближённый метод (метод трапеций) к линейной функции, происходит следующее:

1. Аппроксимирующая хорда, которая соединяет любые две точки на графике линейной функции, полностью совпадает с самим графиком функции между этими точками.
2. Это означает, что "приближение" графика отрезком прямой на самом деле является его точным представлением. Погрешность аппроксимации равна нулю.
3. Следовательно, площадь трапеции под хордой в точности равна площади фигуры под графиком линейной функции на данном отрезке.

Поскольку на каждом малом отрезке вычисляется точная площадь, то и их сумма, которая даёт значение интеграла по всему отрезку $[a, b]$, также будет точной, а не приближённой.

Математически для одного отрезка $[a,b]$ формула трапеций даёт $S \approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$. Для $f(x)=kx+c$ это будет $\frac{b-a}{2}((ka+c)+(kb+c))$. Точный интеграл $\int_a^b(kx+c)dx = [\frac{kx^2}{2}+cx]_a^b = \frac{k}{2}(b^2-a^2)+c(b-a) = (b-a)(\frac{k(a+b)}{2}+c)$. Легко убедиться, что оба выражения тождественно равны.

Ответ: Приближённый метод вычисления определённого интеграла (например, метод трапеций) даёт точный результат для линейной функции, потому что её график — это прямая линия. Аппроксимация графика отрезками прямых, на которой основан метод, в этом случае является не приближением, а точным представлением функции, поэтому погрешность вычислений равна нулю.