Номер 6.45, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.45, страница 189.

Условие.

6.45° Сформулируйте теорему Ньютона—Лейбница.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Теорема Ньютона—Лейбница, также известная как основная теорема математического анализа, устанавливает связь между двумя центральными понятиями анализа — определенным интегралом и первообразной. Она является ключевым инструментом для вычисления определенных интегралов.

Формулировка теоремы

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, а функция $F(x)$ является какой-либо первообразной для $f(x)$ на этом отрезке (то есть для любого $x$ из $[a, b]$ выполняется равенство $F'(x) = f(x)$), то определенный интеграл от функции $f(x)$ на отрезке от $a$ до $b$ равен разности значений первообразной на концах этого отрезка:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

Эту разность также принято обозначать с помощью вертикальной черты: $\left. F(x) \right|_{a}^{b}$. Таким образом, формулу можно записать и так:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \left. F(x) \right|_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

Суть теоремы заключается в том, что для вычисления интеграла, который геометрически представляет собой площадь под графиком функции, не нужно прибегать к сложным процедурам суммирования бесконечно малых площадей (через интегральные суммы). Вместо этого достаточно найти первообразную подынтегральной функции $f(x)$ и затем вычислить разность значений этой первообразной в точках $b$ и $a$.

Ответ: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и $F(x)$ является любой ее первообразной на этом отрезке, то определенный интеграл от $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ равен разности значений первообразной $F(x)$ на концах отрезка, то есть: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$.