Номер 6.48, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.48, страница 189.

6.48 а) $\int_0^1 x^3 dx;$

б) $\int_{-1}^1 x^3 dx;$

в) $\int_2^3 x^3 dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} x^3 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^3$. По формуле для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

Теперь подставим пределы интегрирования $a=0$ и $b=1$ в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{1} = F(1) - F(0) = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} x^3 dx$. Первообразная та же: $F(x) = \frac{x^4}{4}$. Пределы интегрирования $a=-1$ и $b=1$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{1} = F(1) - F(-1) = \frac{1^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$.

Также можно заметить, что подынтегральная функция $f(x) = x^3$ является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку $[-a, a]$ всегда равен нулю.

Ответ: $0$.

в)

Вычислим интеграл $\int_{2}^{3} x^3 dx$. Используем ту же первообразную $F(x) = \frac{x^4}{4}$ и пределы интегрирования $a=2$ и $b=3$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{2}^{3} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{2}^{3} = F(3) - F(2) = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{81 - 16}{4} = \frac{65}{4}$.

Результат можно представить в виде десятичной дроби $16.25$ или смешанного числа $16\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{65}{4}$.