Номер 6.54, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.54, страница 190.

6.54 а) $y = x^2 - 4x + 6$ и $y = 6$;

б) $y = -x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$;

В) $y = x^2 + 1$ и $y = 3 - x$;

г) $y = 4 - x^2$ и $y = x + 2$.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 6$ и $y = 6$, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $y$ совпадают:

$x^2 - 4x + 6 = 6$

Перенесем 6 в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 6 - 6 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Из второго уравнения нам известно, что $y = 6$. Следовательно, координаты точек пересечения:

Для $x_1 = 0$, $y_1 = 6$. Точка $(0, 6)$.

Для $x_2 = 4$, $y_2 = 6$. Точка $(4, 6)$.

Ответ: $(0, 6)$, $(4, 6)$.

б) Найдем точки пересечения графиков функций $y = -x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$. Приравняем правые части уравнений:

$-x^2 - 4x + 5 = 5$

Перенесем 5 в левую часть:

$-x^2 - 4x + 5 - 5 = 0$

$-x^2 - 4x = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства решения:

$x^2 + 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Находим корни уравнения:

$x_1 = 0$ или $x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$

Значение $y$ для обеих точек равно 5.

Координаты точек пересечения:

Для $x_1 = -4$, $y_1 = 5$. Точка $(-4, 5)$.

Для $x_2 = 0$, $y_2 = 5$. Точка $(0, 5)$.

Ответ: $(-4, 5)$, $(0, 5)$.

в) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 1$ и $y = 3 - x$. Приравняем их правые части:

$x^2 + 1 = 3 - x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x + 1 - 3 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать $y = 3 - x$:

Для $x_1 = -2$, $y_1 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$. Точка $(-2, 5)$.

Для $x_2 = 1$, $y_2 = 3 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.

Ответ: $(-2, 5)$, $(1, 2)$.

г) Найдем точки пересечения графиков функций $y = 4 - x^2$ и $y = x + 2$. Приравняем правые части:

$4 - x^2 = x + 2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = x^2 + x + 2 - 4$

$x^2 + x - 2 = 0$

Полученное квадратное уравнение идентично уравнению из пункта в), поэтому его корни также $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = x + 2$:

Для $x_1 = -2$, $y_1 = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Для $x_2 = 1$, $y_2 = 1 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$.

Ответ: $(-2, 0)$, $(1, 3)$.