Номер 6.56, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.56, страница 190.

6.56 a) $y = \sin x, x = -\pi, x = \pi, y = 0;$

б) $y = \sin x, x = 0, x = 2\pi, y = 0;$

в) $y = \cos x, x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2}, y = 0;$

г) $y = \cos x, x = 0, x = 2\pi, y = 0.$

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $x = -\pi$, $x = \pi$ и $y = 0$ (ось Ox), необходимо вычислить определенный интеграл от модуля функции $y = \sin x$ в пределах от $-\pi$ до $\pi$.
Формула для площади: $S = \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| \,dx$.
Разобьем интервал интегрирования $[-\pi, \pi]$ на две части, учитывая знак функции $\sin x$:
1. На интервале $[-\pi, 0]$ функция $\sin x \le 0$, следовательно, $|\sin x| = -\sin x$.
2. На интервале $[0, \pi]$ функция $\sin x \ge 0$, следовательно, $|\sin x| = \sin x$.
Таким образом, интеграл можно записать в виде суммы двух интегралов:
$S = \int_{-\pi}^{0} (-\sin x) \,dx + \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$
Вычислим каждый интеграл по отдельности:
$\int_{-\pi}^{0} (-\sin x) \,dx = [\cos x]_{-\pi}^{0} = \cos(0) - \cos(-\pi) = 1 - (-1) = 2$.
$\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -(\cos(\pi) - \cos(0)) = -(-1 - 1) = 2$.
Общая площадь равна сумме площадей:
$S = 2 + 2 = 4$.
Ответ: 4.

б) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $x = 0$, $x = 2\pi$ и $y = 0$.
Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{0}^{2\pi} |\sin x| \,dx$.
Рассмотрим знак функции $\sin x$ на интервале $[0, 2\pi]$:
1. На интервале $[0, \pi]$ функция $\sin x \ge 0$, поэтому $|\sin x| = \sin x$.
2. На интервале $[\pi, 2\pi]$ функция $\sin x \le 0$, поэтому $|\sin x| = -\sin x$.
Интеграл равен сумме двух интегралов:
$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \,dx$
Вычисляем интегралы:
$\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -(\cos(\pi) - \cos(0)) = -(-1 - 1) = 2$.
$\int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \,dx = [\cos x]_{\pi}^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$.
Общая площадь:
$S = 2 + 2 = 4$.
Ответ: 4.

в) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = 0$.
Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} |\cos x| \,dx$.
На всем интервале интегрирования $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ функция $\cos x \le 0$, так как это соответствует второй и третьей четвертям координатной плоскости. Следовательно, $|\cos x| = -\cos x$.
$S = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \,dx$
Вычисляем интеграл:
$S = [-\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -\sin(\frac{3\pi}{2}) - (-\sin(\frac{\pi}{2})) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2.

г) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $x = 0$, $x = 2\pi$ и $y = 0$.
Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{0}^{2\pi} |\cos x| \,dx$.
Рассмотрим знак функции $\cos x$ на интервале $[0, 2\pi]$:
1. На интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $\cos x \ge 0$, поэтому $|\cos x| = \cos x$.
2. На интервале $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ функция $\cos x \le 0$, поэтому $|\cos x| = -\cos x$.
3. На интервале $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ функция $\cos x \ge 0$, поэтому $|\cos x| = \cos x$.
Разобьем интеграл на три части:
$S = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \,dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \,dx + \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x \,dx$
Вычислим каждый интеграл:
$\int_{0}^{\pi/2} \cos x \,dx = [\sin x]_{0}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \,dx = [-\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -\sin(\frac{3\pi}{2}) - (-\sin(\frac{\pi}{2})) = -(-1) - (-1) = 2$.
$\int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x \,dx = [\sin x]_{3\pi/2}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 - (-1) = 1$.
Общая площадь равна сумме этих значений:
$S = 1 + 2 + 1 = 4$.
Ответ: 4.