Номер 6.63, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.63, страница 195.

Условие.

6.63 Каковы основные свойства определённых интегралов?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a, b]$, а $k, \alpha, \beta$ — произвольные действительные числа. Основные свойства определённых интегралов следующие:

• 1. Линейность

  Интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций. Это свойство объединяет вынесение постоянного множителя за знак интеграла и интегрирование суммы/разности функций.

  Ответ: $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$

• 2. Аддитивность по отрезку интегрирования

  Если точка $c$ лежит между $a$ и $b$, то интеграл по всему отрезку $[a, b]$ равен сумме интегралов по его частям $[a, c]$ и $[c, b]$.

  Ответ: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ для любого $c$ такого, что $a < c < b$.

• 3. Смена пределов интегрирования

  При перестановке верхнего и нижнего пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный.

  Ответ: $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$

• 4. Интеграл с равными пределами

  Если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, то определённый интеграл равен нулю, так как длина отрезка интегрирования равна нулю.

  Ответ: $\int_a^a f(x) dx = 0$

• 5. Монотонность (сравнение интегралов)

  Если на отрезке $[a, b]$ (при $a < b$) одна функция $f(x)$ не меньше другой функции $g(x)$, то и определённый интеграл от $f(x)$ будет не меньше определённого интеграла от $g(x)$ на этом же отрезке. В частности, если функция неотрицательна, то и ее интеграл неотрицателен.

  Ответ: Если $f(x) \ge g(x)$ для всех $x \in [a, b]$, то $\int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx$.

• 6. Оценка интеграла

  Если на отрезке $[a, b]$ (при $a < b$) значения непрерывной функции $f(x)$ заключены между её наименьшим значением $m$ и наибольшим $M$, то значение интеграла от этой функции будет заключено между $m(b-a)$ и $M(b-a)$.

  Ответ: Если $m \le f(x) \le M$ для всех $x \in [a, b]$, то $m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a)$.

• 7. Теорема о среднем значении

  Для непрерывной на отрезке $[a, b]$ функции $f(x)$ существует такая точка $c \in [a, b]$, что значение интеграла равно произведению значения функции в этой точке на длину отрезка. Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции равна площади некоторого прямоугольника с тем же основанием.

  Ответ: Существует $c \in [a, b]$ такое, что $\int_a^b f(x) dx = f(c) \cdot (b-a)$.

• 8. Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема анализа)

  Это основное правило для вычисления определённых интегралов, связывающее его с первообразной. Если $F(x)$ является первообразной для непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ (то есть $F'(x) = f(x)$), то определённый интеграл от $f(x)$ равен разности значений первообразной на концах отрезка.

  Ответ: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$