Номер 6.63, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.63, страница 195.
№6.63 (с. 195)
Условие. №6.63 (с. 195)
скриншот условия

6.63 Каковы основные свойства определённых интегралов?
Решение 1. №6.63 (с. 195)

Решение 2. №6.63 (с. 195)

Решение 4. №6.63 (с. 195)
Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a, b]$, а $k, \alpha, \beta$ — произвольные действительные числа. Основные свойства определённых интегралов следующие:
1. Линейность
Интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций. Это свойство объединяет вынесение постоянного множителя за знак интеграла и интегрирование суммы/разности функций.
Ответ: $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$
2. Аддитивность по отрезку интегрирования
Если точка $c$ лежит между $a$ и $b$, то интеграл по всему отрезку $[a, b]$ равен сумме интегралов по его частям $[a, c]$ и $[c, b]$.
Ответ: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ для любого $c$ такого, что $a < c < b$.
3. Смена пределов интегрирования
При перестановке верхнего и нижнего пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный.
Ответ: $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$
4. Интеграл с равными пределами
Если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, то определённый интеграл равен нулю, так как длина отрезка интегрирования равна нулю.
Ответ: $\int_a^a f(x) dx = 0$
5. Монотонность (сравнение интегралов)
Если на отрезке $[a, b]$ (при $a < b$) одна функция $f(x)$ не меньше другой функции $g(x)$, то и определённый интеграл от $f(x)$ будет не меньше определённого интеграла от $g(x)$ на этом же отрезке. В частности, если функция неотрицательна, то и ее интеграл неотрицателен.
Ответ: Если $f(x) \ge g(x)$ для всех $x \in [a, b]$, то $\int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx$.
6. Оценка интеграла
Если на отрезке $[a, b]$ (при $a < b$) значения непрерывной функции $f(x)$ заключены между её наименьшим значением $m$ и наибольшим $M$, то значение интеграла от этой функции будет заключено между $m(b-a)$ и $M(b-a)$.
Ответ: Если $m \le f(x) \le M$ для всех $x \in [a, b]$, то $m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a)$.
7. Теорема о среднем значении
Для непрерывной на отрезке $[a, b]$ функции $f(x)$ существует такая точка $c \in [a, b]$, что значение интеграла равно произведению значения функции в этой точке на длину отрезка. Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции равна площади некоторого прямоугольника с тем же основанием.
Ответ: Существует $c \in [a, b]$ такое, что $\int_a^b f(x) dx = f(c) \cdot (b-a)$.
8. Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема анализа)
Это основное правило для вычисления определённых интегралов, связывающее его с первообразной. Если $F(x)$ является первообразной для непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ (то есть $F'(x) = f(x)$), то определённый интеграл от $f(x)$ равен разности значений первообразной на концах отрезка.
Ответ: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.63 расположенного на странице 195 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.63 (с. 195), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.