Номер 6.63, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.63, страница 195.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№6.63 (с. 195)
Условие. №6.63 (с. 195)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 195, номер 6.63, Условие

6.63 Каковы основные свойства определённых интегралов?

Решение 1. №6.63 (с. 195)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 195, номер 6.63, Решение 1
Решение 2. №6.63 (с. 195)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 195, номер 6.63, Решение 2
Решение 4. №6.63 (с. 195)

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a, b]$, а $k, \alpha, \beta$ — произвольные действительные числа. Основные свойства определённых интегралов следующие:

  • 1. Линейность

    Интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций. Это свойство объединяет вынесение постоянного множителя за знак интеграла и интегрирование суммы/разности функций.

    Ответ: $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$

  • 2. Аддитивность по отрезку интегрирования

    Если точка $c$ лежит между $a$ и $b$, то интеграл по всему отрезку $[a, b]$ равен сумме интегралов по его частям $[a, c]$ и $[c, b]$.

    Ответ: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ для любого $c$ такого, что $a < c < b$.

  • 3. Смена пределов интегрирования

    При перестановке верхнего и нижнего пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный.

    Ответ: $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$

  • 4. Интеграл с равными пределами

    Если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, то определённый интеграл равен нулю, так как длина отрезка интегрирования равна нулю.

    Ответ: $\int_a^a f(x) dx = 0$

  • 5. Монотонность (сравнение интегралов)

    Если на отрезке $[a, b]$ (при $a < b$) одна функция $f(x)$ не меньше другой функции $g(x)$, то и определённый интеграл от $f(x)$ будет не меньше определённого интеграла от $g(x)$ на этом же отрезке. В частности, если функция неотрицательна, то и ее интеграл неотрицателен.

    Ответ: Если $f(x) \ge g(x)$ для всех $x \in [a, b]$, то $\int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx$.

  • 6. Оценка интеграла

    Если на отрезке $[a, b]$ (при $a < b$) значения непрерывной функции $f(x)$ заключены между её наименьшим значением $m$ и наибольшим $M$, то значение интеграла от этой функции будет заключено между $m(b-a)$ и $M(b-a)$.

    Ответ: Если $m \le f(x) \le M$ для всех $x \in [a, b]$, то $m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a)$.

  • 7. Теорема о среднем значении

    Для непрерывной на отрезке $[a, b]$ функции $f(x)$ существует такая точка $c \in [a, b]$, что значение интеграла равно произведению значения функции в этой точке на длину отрезка. Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции равна площади некоторого прямоугольника с тем же основанием.

    Ответ: Существует $c \in [a, b]$ такое, что $\int_a^b f(x) dx = f(c) \cdot (b-a)$.

  • 8. Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема анализа)

    Это основное правило для вычисления определённых интегралов, связывающее его с первообразной. Если $F(x)$ является первообразной для непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ (то есть $F'(x) = f(x)$), то определённый интеграл от $f(x)$ равен разности значений первообразной на концах отрезка.

    Ответ: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.63 расположенного на странице 195 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.63 (с. 195), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться