Номер 6.66, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.66, страница 195.

6.66 а) $\int_1^2 (3x - 1) dx;$

б) $\int_{-2}^3 (x^2 - 2x) dx;$

в) $\int_0^2 (2x^2 + 5x - 6) dx;$

г) $\int_{-2}^1 (-2x^2 - x + 8) dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{1}^{2} (3x - 1) dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 3x - 1 $.

$ F(x) = \int (3x - 1) dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} - x = \frac{3}{2}x^2 - x $.

2. Вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При $ x = 2 $: $ F(2) = \frac{3}{2}(2)^2 - 2 = \frac{3}{2} \cdot 4 - 2 = 6 - 2 = 4 $.

При $ x = 1 $: $ F(1) = \frac{3}{2}(1)^2 - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} $.

3. Найдем разность $ F(2) - F(1) $.

$ \int_{1}^{2} (3x - 1) dx = F(2) - F(1) = 4 - \frac{1}{2} = 3.5 $.

Ответ: $3.5$

б)

Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{3} (x^2 - 2x) dx $.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = x^2 - 2x $.

$ F(x) = \int (x^2 - 2x) dx = \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} - x^2 $.

2. Вычислим значения $ F(3) $ и $ F(-2) $.

$ F(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 = \frac{27}{3} - 9 = 9 - 9 = 0 $.

$ F(-2) = \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 = \frac{-8}{3} - 4 = -\frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{20}{3} $.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница.

$ \int_{-2}^{3} (x^2 - 2x) dx = F(3) - F(-2) = 0 - (-\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} $.

Ответ: $\frac{20}{3}$

в)

Вычислим интеграл $ \int_{0}^{2} (2x^2 + 5x - 6) dx $.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = 2x^2 + 5x - 6 $.

$ F(x) = \int (2x^2 + 5x - 6) dx = 2 \frac{x^3}{3} + 5 \frac{x^2}{2} - 6x $.

2. Вычислим значения $ F(2) $ и $ F(0) $.

$ F(2) = 2 \frac{2^3}{3} + 5 \frac{2^2}{2} - 6(2) = 2 \frac{8}{3} + 5 \frac{4}{2} - 12 = \frac{16}{3} + 10 - 12 = \frac{16}{3} - 2 = \frac{16 - 6}{3} = \frac{10}{3} $.

$ F(0) = 2 \frac{0^3}{3} + 5 \frac{0^2}{2} - 6(0) = 0 $.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница.

$ \int_{0}^{2} (2x^2 + 5x - 6) dx = F(2) - F(0) = \frac{10}{3} - 0 = \frac{10}{3} $.

Ответ: $\frac{10}{3}$

г)

Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{1} (-2x^2 - x + 8) dx $.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = -2x^2 - x + 8 $.

$ F(x) = \int (-2x^2 - x + 8) dx = -2 \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 8x $.

2. Вычислим значения $ F(1) $ и $ F(-2) $.

$ F(1) = -2 \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 8(1) = -\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 8 = \frac{-4 - 3 + 48}{6} = \frac{41}{6} $.

$ F(-2) = -2 \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 8(-2) = -2 \frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 16 = \frac{16}{3} - 2 - 16 = \frac{16}{3} - 18 = \frac{16 - 54}{3} = -\frac{38}{3} $.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница.

$ \int_{-2}^{1} (-2x^2 - x + 8) dx = F(1) - F(-2) = \frac{41}{6} - (-\frac{38}{3}) = \frac{41}{6} + \frac{38 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{41}{6} + \frac{76}{6} = \frac{117}{6} = \frac{39}{2} = 19.5 $.

Ответ: $19.5$