Номер 6.70, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.70, страница 195.

6.70* а) $y = x^2 - \pi x$ и $y = \sin x$;

б) $y = \sin x$, $y = \cos x$, $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - \pi x$ и $y = \sin x$, необходимо сначала найти точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем их уравнения:

$x^2 - \pi x = \sin x$

Подбором можно найти два корня этого уравнения. При $x=0$: $0^2 - \pi \cdot 0 = 0$ и $\sin(0) = 0$. Следовательно, $x=0$ является точкой пересечения. При $x=\pi$: $\pi^2 - \pi \cdot \pi = 0$ и $\sin(\pi) = 0$. Следовательно, $x=\pi$ также является точкой пересечения. Эти значения будут пределами интегрирования.

Далее определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(0, \pi)$. На этом интервале функция $y = \sin x$ положительна ($sin x > 0$). Функция $y = x^2 - \pi x = x(x-\pi)$ на интервале $(0, \pi)$ отрицательна, так как $x>0$ и $(x-\pi)<0$. Следовательно, на отрезке $[0, \pi]$ выполняется неравенство $\sin x \ge x^2 - \pi x$, значит, график синуса лежит выше графика параболы.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{\pi} (\sin x - (x^2 - \pi x)) dx = \int_{0}^{\pi} (\sin x - x^2 + \pi x) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (\sin x - x^2 + \pi x) dx = -\cos x - \frac{x^3}{3} + \pi \frac{x^2}{2} + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ -\cos x - \frac{x^3}{3} + \frac{\pi x^2}{2} \right]_{0}^{\pi}$

$S = \left( -\cos(\pi) - \frac{\pi^3}{3} + \frac{\pi \cdot \pi^2}{2} \right) - \left( -\cos(0) - \frac{0^3}{3} + \frac{\pi \cdot 0^2}{2} \right)$

$S = \left( -(-1) - \frac{\pi^3}{3} + \frac{\pi^3}{2} \right) - (-1 - 0 + 0)$

$S = \left( 1 + \frac{-2\pi^3 + 3\pi^3}{6} \right) - (-1)$

$S = 1 + \frac{\pi^3}{6} + 1 = 2 + \frac{\pi^3}{6}$

Ответ: $2 + \frac{\pi^3}{6}$

б)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = \cos x$ и вертикальными прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$. В данном случае $a = -\frac{\pi}{4}$, $b = \frac{5\pi}{4}$, $f(x) = \sin x$, $g(x) = \cos x$.

Для того чтобы раскрыть модуль, необходимо определить, на каких участках $\sin x > \cos x$, а на каких $\cos x > \sin x$. Для этого найдем точки их пересечения, решив уравнение $\sin x = \cos x$.

$\sin x = \cos x \implies \tan x = 1$ (при условии $\cos x \ne 0$)

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$. На заданном отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ лежит одна точка пересечения, при $n=0$: $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка делит отрезок интегрирования на два: $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ и $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$.

1. На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, например при $x=0$, имеем $\cos(0) = 1$ и $\sin(0) = 0$. Так как $1>0$, на этом отрезке $\cos x \ge \sin x$.

2. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$, например при $x=\frac{\pi}{2}$, имеем $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $1>0$, на этом отрезке $\sin x \ge \cos x$.

Следовательно, площадь является суммой двух интегралов:

$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{-\pi/4}^{\pi/4} = (\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) - (\sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos(-\frac{\pi}{4}))$

$= (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - 0 = \sqrt{2}$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4} = (-\cos(\frac{5\pi}{4}) - \sin(\frac{5\pi}{4})) - (-\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4}))$

$= (-(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Общая площадь равна сумме площадей:

$S = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Ответ: $3\sqrt{2}$