Номер 6.75, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.75, страница 201.

6.75 Множество точек координатной плоскости $xOy$, удовлетворяющих уравнению $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a \neq b)$, называют эллипсом.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной эллипсом:

a) $x^2 + 9y^2 = 9$ (рис. 167);

б) $4x^2 + y^2 = 4$ (рис. 168).

Рис. 167

$x^2+9y^2=9$

Рис. 168

$4x^2+y^2=4$

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом, заданным каноническим уравнением $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $, где $a$ и $b$ — длины большой и малой полуосей эллипса, вычисляется по формуле: $ S = \pi ab $.

Для решения задачи необходимо привести каждое из данных уравнений к каноническому виду, чтобы определить значения полуосей $a$ и $b$, а затем вычислить площадь.

а) Вычислим площадь фигуры, ограниченной эллипсом $x^2 + 9y^2 = 9$.

Для приведения уравнения к каноническому виду разделим обе его части на 9: $ \frac{x^2}{9} + \frac{9y^2}{9} = \frac{9}{9} $

Упростив, получаем каноническое уравнение эллипса: $ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1 $

Из этого уравнения видно, что квадраты полуосей равны $a^2 = 9$ и $b^2 = 1$. Следовательно, длины полуосей: $ a = \sqrt{9} = 3 $
$ b = \sqrt{1} = 1 $

Теперь можем вычислить площадь эллипса: $ S = \pi \cdot a \cdot b = \pi \cdot 3 \cdot 1 = 3\pi $

Ответ: $3\pi$.

б) Вычислим площадь фигуры, ограниченной эллипсом $4x^2 + y^2 = 4$.

Для приведения уравнения к каноническому виду разделим обе его части на 4: $ \frac{4x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = \frac{4}{4} $

Упростив, получаем каноническое уравнение эллипса: $ \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1 $

Из этого уравнения видно, что квадраты полуосей равны $a^2 = 1$ и $b^2 = 4$. Следовательно, длины полуосей: $ a = \sqrt{1} = 1 $
$ b = \sqrt{4} = 2 $

Теперь можем вычислить площадь эллипса: $ S = \pi \cdot a \cdot b = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi $

Ответ: $2\pi$.