Номер 6.74, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.74, страница 196.

6.74* Вычислите определённый интеграл:

a) $\int_{0}^{\pi} |\sin 2002x| dx;$

б) $\int_{-7}^{7} |||x| - 4| - 2| - 1| dx.$

а) Вычислим интеграл $I_a = \int_{0}^{\pi} |\sin(2002x)| dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = |\sin(2002x)|$ является периодической. Найдем ее период. Период функции $\sin(kx)$ равен $T_{sin} = \frac{2\pi}{k}$. В нашем случае $k = 2002$, поэтому $T_{sin} = \frac{2\pi}{2002} = \frac{\pi}{1001}$.

Функция $|\sin(kx)|$ имеет период в два раза меньше, чем $\sin(kx)$, так как отрицательные полуволны отражаются вверх. Таким образом, период функции $f(x)=|\sin(2002x)|$ равен $T = \frac{1}{2} T_{sin} = \frac{\pi}{2002}$.

Интегрирование производится на отрезке $[0, \pi]$. Длина этого отрезка равна $\pi$. Найдем, сколько полных периодов функции $f(x)$ укладывается на этом отрезке: $n = \frac{\pi}{T} = \frac{\pi}{\pi/2002} = 2002$.

Интеграл от периодической функции по интервалу, содержащему целое число периодов, равен произведению числа периодов на интеграл по одному периоду:

$\int_{0}^{nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$.

Применим это свойство к нашему интегралу:

$I_a = \int_{0}^{\pi} |\sin(2002x)| dx = 2002 \int_{0}^{\pi/2002} |\sin(2002x)| dx$.

На отрезке $x \in [0, \pi/2002]$, аргумент синуса $2002x$ изменяется в пределах от $2002 \cdot 0 = 0$ до $2002 \cdot (\pi/2002) = \pi$. На интервале $[0, \pi]$ функция синус неотрицательна, то есть $\sin(u) \ge 0$ для $u \in [0, \pi]$. Следовательно, на отрезке $x \in [0, \pi/2002]$ имеем $\sin(2002x) \ge 0$, и модуль можно убрать: $|\sin(2002x)| = \sin(2002x)$.

Тогда интеграл становится:

$I_a = 2002 \int_{0}^{\pi/2002} \sin(2002x) dx$.

Вычислим этот интеграл:

$\int_{0}^{\pi/2002} \sin(2002x) dx = \left[-\frac{\cos(2002x)}{2002}\right]_{0}^{\pi/2002} = -\frac{1}{2002} \left[\cos(2002x)\right]_{0}^{\pi/2002}$

$= -\frac{1}{2002} \left(\cos\left(2002 \cdot \frac{\pi}{2002}\right) - \cos(2002 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{2002} (\cos(\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{2002} (-1 - 1) = \frac{2}{2002}$.

Подставим полученное значение обратно:

$I_a = 2002 \cdot \frac{2}{2002} = 2$.

Ответ: 2.

б) Вычислим интеграл $I_б = \int_{-7}^{7} ||| |x| - 4 | - 2 | - 1 | dx$.

Пусть подынтегральная функция $f(x) = ||| |x| - 4 | - 2 | - 1 |$. Проверим ее на четность:

$f(-x) = ||| |-x| - 4 | - 2 | - 1 | = ||| |x| - 4 | - 2 | - 1 | = f(x)$.

Так как функция $f(x)$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, мы можем использовать свойство интеграла от четной функции:

$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$.

В нашем случае $a=7$, поэтому:

$I_б = 2 \int_{0}^{7} ||| |x| - 4 | - 2 | - 1 | dx$.

Для $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Таким образом, на отрезке $[0, 7]$ подынтегральная функция упрощается до $g(x) = ||| x - 4 | - 2 | - 1 |$. Нам нужно вычислить $2 \int_{0}^{7} g(x) dx$.

Для вычисления интеграла от функции с вложенными модулями, раскроем их последовательно, разбивая отрезок интегрирования $[0, 7]$ на части в точках, где выражения под модулем меняют знак.

Рассмотрим функцию $g(x)$ на отрезке $[0, 7]$. Точки, в которых аргументы модулей обращаются в ноль:

• $x-4=0 \Rightarrow x=4$.
• $|x-4|-2=0 \Rightarrow |x-4|=2 \Rightarrow x-4=2$ или $x-4=-2 \Rightarrow x=6$ или $x=2$.
• $||x-4|-2|-1=0 \Rightarrow ||x-4|-2|=1$.
  • $|x-4|-2=1 \Rightarrow |x-4|=3 \Rightarrow x-4=3$ или $x-4=-3 \Rightarrow x=7$ или $x=1$.
  • $|x-4|-2=-1 \Rightarrow |x-4|=1 \Rightarrow x-4=1$ или $x-4=-1 \Rightarrow x=5$ или $x=3$.

Критические точки на отрезке $[0, 7]$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Разобьем интеграл по этим точкам:

$\int_{0}^{7} g(x)dx = \int_0^1 g(x)dx + \int_1^2 g(x)dx + \int_2^3 g(x)dx + \int_3^4 g(x)dx + \int_4^5 g(x)dx + \int_5^6 g(x)dx + \int_6^7 g(x)dx$.

Раскроем модули на каждом интервале:

• $[0, 1]$: $g(x) = |(4-x)-2|-1| = |2-x-1| = |1-x| = 1-x$.
• $[1, 2]$: $g(x) = |(4-x)-2|-1| = |2-x-1| = |1-x| = x-1$.
• $[2, 3]$: $g(x) = |-(x-2)-1| = |-x+2-1| = |-x+1| = |x-1|=x-1$. Ошибка. Давайте аккуратнее.
  $x \in [2,4] \Rightarrow |x-4| = 4-x$. $h(x) = |(4-x)-2| = |2-x|$.
  $x \in [2,4] \Rightarrow 2-x \le 0 \Rightarrow |2-x| = x-2$.
  $g(x) = |(x-2)-1| = |x-3|$.
  На $[2,3]$, $g(x)=|x-3|=3-x$.
• $[3, 4]$: $g(x) = |x-3| = x-3$.
• $[4, 5]$: $x \ge 4 \Rightarrow |x-4|=x-4$. $g(x)=||(x-4)-2|-1| = ||x-6|-1|$.
  На $[4,5]$, $|x-6|=6-x$. $g(x)=|(6-x)-1|=|5-x|=5-x$.
• $[5, 6]$: $g(x)=||x-6|-1|=|5-x|=x-5$.
• $[6, 7]$: $|x-6|=x-6$. $g(x)=|(x-6)-1|=|x-7|=7-x$.

Интеграл $\int_{0}^{7} g(x) dx$ представляет собой сумму площадей семи треугольников, каждый с основанием 1 и высотой 1.
Площадь одного такого треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Например, $\int_0^1 (1-x)dx = [x - \frac{x^2}{2}]_0^1 = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Аналогично, $\int_1^2 (x-1)dx = [\frac{x^2}{2}-x]_1^2 = (2-2)-(\frac{1}{2}-1) = \frac{1}{2}$.
$\int_2^3 (3-x)dx = [3x-\frac{x^2}{2}]_2^3 = (9-\frac{9}{2})-(6-2) = \frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$.
И так далее для всех семи интервалов.

Общая площадь под графиком $g(x)$ на отрезке $[0, 7]$:

$\int_{0}^{7} g(x) dx = 7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

Возвращаемся к исходному интегралу:

$I_б = 2 \int_{0}^{7} g(x) dx = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7$.

Ответ: 7.