Номер 6.81, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.81, страница 202.

Условие.

6.81* Плотность стержня на отрезке $[a; b]$ есть функция $\rho(x)$ координаты $x$ $(a \le x \le b)$. Вычислите массу стержня, если:

а) $\rho(x) = x + 1, a = 0, b = 2;$

б) $\rho(x) = 0,3x^2, a = 0, b = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Масса стержня с переменной линейной плотностью $\rho(x)$ на отрезке $[a; b]$ вычисляется как определенный интеграл от функции плотности по этому отрезку. Формула для вычисления массы $m$ выглядит следующим образом:

$m = \int_a^b \rho(x) \,dx$

Применим эту формулу для решения каждого из подпунктов.

а)

Даны функция плотности $\rho(x) = x + 1$ и отрезок $[0; 2]$, где $a = 0$ и $b = 2$.

Масса стержня вычисляется по интегралу:

$m = \int_0^2 (x + 1) \,dx$

Для вычисления этого интеграла найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x + 1$. Первообразная для $x$ это $\frac{x^2}{2}$, а для $1$ это $x$. Следовательно, первообразная $F(x)$ для $x + 1$ равна $F(x) = \frac{x^2}{2} + x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$:

$m = \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \Big|_0^2 = \left( \frac{2^2}{2} + 2 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 \right) = \left( \frac{4}{2} + 2 \right) - 0 = 2 + 2 = 4$

Ответ: 4

б)

Даны функция плотности $\rho(x) = 0,3x^2$ и отрезок $[0; 3]$, где $a = 0$ и $b = 3$.

Масса стержня вычисляется по интегралу:

$m = \int_0^3 0,3x^2 \,dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 0,3x^2$. Первообразная для $x^2$ это $\frac{x^3}{3}$. Следовательно, первообразная $F(x)$ для $0,3x^2$ равна $F(x) = 0,3 \cdot \frac{x^3}{3} = 0,1x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$m = \left( 0,1x^3 \right) \Big|_0^3 = (0,1 \cdot 3^3) - (0,1 \cdot 0^3) = (0,1 \cdot 27) - 0 = 2,7$

Ответ: 2,7