Номер 6.85, страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.85, страница 206.

6.85 Покажите, что функция $y = C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x$ является решением дифференциального уравнения $y'' = -\omega^2 y$.

Для того чтобы показать, что функция $y = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$ является решением дифференциального уравнения $y'' = -\omega^2 y$, необходимо найти вторую производную этой функции и подставить ее в уравнение. Если в результате подстановки мы получим верное тождество, то функция действительно является решением.

1. Находим первую производную функции $y$ по $x$.

Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции. Помним, что производная $\cos(u)$ равна $-\sin(u) \cdot u'$, а производная $\sin(u)$ равна $\cos(u) \cdot u'$. В нашем случае $u = \omega x$, поэтому $u' = \omega$.

$y' = \frac{d}{dx}(C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)) = C_1 \cdot (-\sin(\omega x) \cdot \omega) + C_2 \cdot (\cos(\omega x) \cdot \omega)$

Упрощая, получаем:

$y' = -C_1 \omega \sin(\omega x) + C_2 \omega \cos(\omega x)$

2. Находим вторую производную функции $y$ по $x$.

Теперь дифференцируем полученное выражение для $y'$:

$y'' = \frac{d}{dx}(-C_1 \omega \sin(\omega x) + C_2 \omega \cos(\omega x)) = -C_1 \omega \cdot (\cos(\omega x) \cdot \omega) + C_2 \omega \cdot (-\sin(\omega x) \cdot \omega)$

Упрощая, получаем:

$y'' = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x)$

3. Подставляем $y''$ и $y$ в дифференциальное уравнение.

Исходное дифференциальное уравнение: $y'' = -\omega^2 y$.

Подставим в левую часть найденное выражение для $y''$:

$y'' = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x)$

Теперь рассмотрим правую часть уравнения, подставив в нее исходную функцию $y$:

$-\omega^2 y = -\omega^2 (C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)) = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x)$

Сравнивая левую и правую части, видим, что они тождественны:

$-C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x) = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x)$

Также можно было вынести общий множитель $-\omega^2$ из выражения для $y''$:

$y'' = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x) = -\omega^2 (C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x))$

Так как выражение в скобках равно исходной функции $y$, мы получаем:

$y'' = -\omega^2 y$

Это полностью совпадает с данным дифференциальным уравнением, что и требовалось доказать.

Ответ: Мы нашли первую и вторую производные функции $y = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$. Подстановка второй производной $y'' = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x)$ и исходной функции $y$ в дифференциальное уравнение $y'' = -\omega^2 y$ приводит к верному тождеству, что доказывает, что данная функция является его решением.