Номер 6.89, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.89, страница 211.

6.89 Нарисуйте график функции $x = -5t^2 + 800t$, задающей закон движения пули, выпущенной вверх, и определите:

а) наибольшую высоту, на которую поднимется пуля;

б) момент времени, когда пуля достигнет наибольшей высоты;

в) момент падения пули на землю;

г) скорость пули в момент её падения на землю.

Заданный закон движения пули $x(t) = -5t^2 + 800t$ является квадратичной функцией. График этой функции, показывающий зависимость высоты $x$ от времени $t$, представляет собой параболу. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицателен ($-5$), ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика и решения задачи найдем ключевые точки параболы в контексте физического смысла движения ($t \ge 0$).

• Вершина параболы: Её координаты $(t_{верш}, x_{макс})$ соответствуют моменту времени, когда пуля достигает максимальной высоты, и самой этой высоте.
  Абсцисса вершины находится по формуле $t_{верш} = -b / (2a)$:
  $t_{верш} = -800 / (2 \cdot (-5)) = -800 / (-10) = 80$ с.
  Ордината вершины (максимальная высота) находится подстановкой $t_{верш}$ в исходное уравнение:
  $x_{макс} = x(80) = -5(80)^2 + 800(80) = -5 \cdot 6400 + 64000 = -32000 + 64000 = 32000$ м.
  Таким образом, вершина параболы находится в точке $(80, 32000)$.
• Точки пересечения с осью времени (осью Ot): Эти точки соответствуют моментам времени, когда высота пули $x$ равна нулю (т.е. пуля находится на земле).
  Для этого решим уравнение $x(t) = 0$:
  $-5t^2 + 800t = 0$
  $t(-5t + 800) = 0$
  Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$ с (момент выстрела) и $t_2 = 160$ с (момент падения).

График функции представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(0, 0)$, достигает своего максимума в точке $(80, 32000)$ и возвращается к оси времени в точке $(160, 0)$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

а) наибольшую высоту, на которую поднимется пуля;
Наибольшая высота подъема — это максимальное значение функции $x(t)$, которое соответствует ординате вершины параболы. Как было вычислено выше, эта высота составляет 32000 метров.
Ответ: 32000 м.

б) момент времени, когда пуля достигнет наибольшей высоты;
Момент времени, когда пуля достигает наибольшей высоты, соответствует абсциссе вершины параболы.
$t_{верш} = 80$ с.
Ответ: 80 с.

в) момент падения пули на землю;
Момент падения пули на землю соответствует второму (ненулевому) моменту времени, когда высота $x(t)$ равна нулю. Из решения уравнения $x(t)=0$ мы нашли, что это происходит при $t=160$ с.
Ответ: 160 с.

г) скорость пули в момент её падения на землю.
Скорость $v(t)$ является производной от функции координаты $x(t)$ по времени $t$.
$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(-5t^2 + 800t) = -10t + 800$.
Чтобы найти скорость в момент падения ($t = 160$ с), подставим это значение в уравнение для скорости:
$v(160) = -10 \cdot 160 + 800 = -1600 + 800 = -800$ м/с.
Знак "минус" указывает на то, что в момент падения вектор скорости пули направлен вниз, то есть в сторону, противоположную начальному движению.
Ответ: -800 м/с.