Номер 6.95, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.95, страница 211.

6.95* Первоначально в баке было 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно вливается 5 л чистой воды в минуту, и столько же раствора выливается из бака. Весь процесс происходит при тщательном перемешивании раствора. Сколько килограммов соли останется в баке через 1 ч?

Для решения этой задачи необходимо составить и решить дифференциальное уравнение, которое описывает изменение массы соли в баке с течением времени.

Пусть $m(t)$ — масса соли в килограммах в баке в момент времени $t$ (измеряемый в минутах). Начальное условие задачи: в момент времени $t=0$, масса соли $m(0) = 10$ кг.

Общий объем раствора в баке $V$ остается постоянным и равным 100 л, поскольку скорость вливания жидкости (5 л/мин) равна скорости ее выливания (5 л/мин).

Так как раствор в баке тщательно перемешивается, концентрация соли в любой момент времени $t$ одинакова во всем объеме и равна $c(t) = \frac{m(t)}{V} = \frac{m(t)}{100}$ кг/л.

Скорость изменения массы соли в баке, обозначаемая как $\frac{dm}{dt}$, равна разности между скоростью поступления соли и скоростью ее убывания.

1. Скорость поступления соли. В бак вливается чистая вода, в которой соль отсутствует. Следовательно, скорость поступления соли равна 0 кг/мин.

2. Скорость убывания соли. Каждую минуту из бака выливается 5 литров раствора с концентрацией $c(t)$. Таким образом, количество вымываемой соли в минуту составляет: $Скорость_{убыв.} = 5 \text{ л/мин} \times c(t) \text{ кг/л} = 5 \times \frac{m(t)}{100} = \frac{m(t)}{20}$ кг/мин.

Составим дифференциальное уравнение, объединив скорости поступления и убывания: $\frac{dm}{dt} = 0 - \frac{m(t)}{20}$ $\frac{dm}{dt} = -\frac{m}{20}$

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для его решения разделим переменные $m$ и $t$: $\frac{dm}{m} = -\frac{1}{20} dt$

Проинтегрируем обе части уравнения: $\int \frac{dm}{m} = \int -\frac{1}{20} dt$ $\ln(m) = -\frac{t}{20} + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.

Чтобы найти $m(t)$, потенцируем обе части уравнения: $m(t) = e^{-\frac{t}{20} + C} = e^C \cdot e^{-\frac{t}{20}}$ Обозначим константу $e^C$ как $C_0$. Тогда общее решение уравнения имеет вид: $m(t) = C_0 e^{-\frac{t}{20}}$

Для нахождения $C_0$ используем начальное условие $m(0) = 10$ кг: $10 = C_0 e^{-\frac{0}{20}} = C_0 e^0 = C_0 \cdot 1$ Следовательно, $C_0 = 10$.

Таким образом, зависимость массы соли от времени описывается функцией: $m(t) = 10 e^{-\frac{t}{20}}$

Нам нужно найти массу соли, оставшуюся в баке через 1 час. Переведем время в минуты: $t = 1 \text{ час} = 60$ минут. Подставим $t=60$ в полученную формулу: $m(60) = 10 e^{-\frac{60}{20}} = 10 e^{-3} = \frac{10}{e^3}$

Это точный ответ. Для получения численного значения используем приближение $e \approx 2.71828$: $m(60) \approx \frac{10}{2.71828^3} \approx \frac{10}{20.0855} \approx 0.49787$ кг.

Ответ: Через 1 час в баке останется $\frac{10}{e^3}$ кг соли, что приблизительно равно 0.5 кг.