Номер 7.7, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.7, страница 219.

7.7 a) $(2x - 3)^7 = (x + 1)^7;$

б) $(3x + 1)^5 = (x + 9)^5;$

в) $(3x^2 - 4x)^9 = (x^2 - 8x)^9;$

г) $(5x^2 + 4x)^3 = (x^2 + 2x)^3.$

а) Дано уравнение $(2x - 3)^7 = (x + 1)^7$. Это уравнение вида $A^n = B^n$, где показатель степени $n=7$ является нечетным числом. Для нечетных показателей степени равенство $A^n = B^n$ равносильно равенству оснований $A = B$. Таким образом, мы можем приравнять выражения в скобках: $2x - 3 = x + 1$ Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые — в правую часть: $2x - x = 1 + 3$ Приведем подобные слагаемые: $x = 4$ Ответ: $x = 4$.

б) Дано уравнение $(3x + 1)^5 = (x + 9)^5$. Показатель степени $n=5$ является нечетным числом. Следовательно, мы можем приравнять основания степеней: $3x + 1 = x + 9$ Соберем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой: $3x - x = 9 - 1$ Упростим обе части уравнения: $2x = 8$ Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$: $x = \frac{8}{2}$ $x = 4$ Ответ: $x = 4$.

в) Дано уравнение $(3x^2 - 4x)^9 = (x^2 - 8x)^9$. Показатель степени $n=9$ является нечетным. Это означает, что равенство справедливо тогда и только тогда, когда основания степеней равны: $3x^2 - 4x = x^2 - 8x$ Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $3x^2 - x^2 - 4x + 8x = 0$ Приведем подобные слагаемые: $2x^2 + 4x = 0$ Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $2x(x + 2) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения: 1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$ 2) $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$ Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2$.

г) Дано уравнение $(5x^2 + 4x)^3 = (x^2 + 2x)^3$. Показатель степени $n=3$ — нечетное число. Следовательно, приравниваем основания: $5x^2 + 4x = x^2 + 2x$ Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $5x^2 - x^2 + 4x - 2x = 0$ Упростим выражение, приведя подобные члены: $4x^2 + 2x = 0$ Вынесем за скобки общий множитель $2x$: $2x(2x + 1) = 0$ Получаем два уравнения: 1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$ 2) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -0.5$ Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -0.5$.