Номер 7.3, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.3, страница 218.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№7.3 (с. 218)
Условие. №7.3 (с. 218)
скриншот условия
ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Условие

7.3 Объясните, почему равносильны уравнения:

a) x+5=2x3x+5=2x-3 и x2x+5=3x-2x+5=-3;

б) 12x2+1=x3x\frac{1}{2}x^2+1=x^3-x и x2+2=2x32xx^2+2=2x^3-2x;

в) (x+1)2=2x2(x+1)^2=2x^2 и x2+2x+1=2x2x^2+2x+1=2x^2;

г) x2+x+2x3x+1=0x^2+x+2-x^3-x+1=0 и x2x3+3=0x^2-x^3+3=0;

д) x=1x=1 и x3=1x^3=1; е) x5=2x^5=2 и x=25x=\sqrt[5]{2};

ж) 2x+2=22^{x+2}=2 и x+2=1x+2=1; з) sin3x=18\sin^3 x=\frac{1}{8} и sinx=12\sin x=\frac{1}{2}.

Решение 1. №7.3 (с. 218)
ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 1 ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 1 (продолжение 2) ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 1 (продолжение 3) ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 1 (продолжение 4) ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 1 (продолжение 5) ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 1 (продолжение 6) ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 1 (продолжение 7) ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 1 (продолжение 8)
Решение 2. №7.3 (с. 218)
ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 2 ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 2 (продолжение 2) ГДЗ Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 218, номер 7.3, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 4. №7.3 (с. 218)

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Также уравнения равносильны, если одно из них можно получить из другого с помощью равносильных преобразований.

а) Второе уравнение x2x+5=3x - 2x + 5 = -3 получено из первого уравнения x+5=2x3x + 5 = 2x - 3 путем переноса слагаемого 2x2x из правой части в левую с изменением знака. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую является равносильным преобразованием, так как это равносильно прибавлению (или вычитанию) одного и того же выражения к обеим частям уравнения.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого равносильным преобразованием (перенос слагаемого).

б) Второе уравнение x2+2=2x32xx^2 + 2 = 2x^3 - 2x получено из первого уравнения 12x2+1=x3x\frac{1}{2}x^2 + 1 = x^3 - x путем умножения обеих частей на 2. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число (в данном случае на 2) является равносильным преобразованием, так как оно не меняет множество корней уравнения.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого умножением обеих частей на ненулевое число 2.

в) Второе уравнение x2+2x+1=2x2x^2 + 2x + 1 = 2x^2 получено из первого (x+1)2=2x2(x + 1)^2 = 2x^2 путем раскрытия скобок в левой части по формуле квадрата суммы: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Тождественные преобразования выражений в одной из частей уравнения (без изменения области определения) являются равносильными.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем тождественного преобразования левой части (раскрытия скобок).

г) Второе уравнение x2x3+3=0x^2 - x^3 + 3 = 0 получено из первого x2+x+2x3x+1=0x^2 + x + 2 - x^3 - x + 1 = 0 путем приведения подобных слагаемых в левой части: xx=0x - x = 0 и 2+1=32 + 1 = 3. Упрощение выражений (приведение подобных слагаемых) является тождественным, а значит, и равносильным преобразованием.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем приведения подобных слагаемых.

д) Второе уравнение x3=1x^3 = 1 можно получить из первого x=1x = 1 возведением обеих частей в куб (x3=13x^3=1^3). Функция y=t3y=t^3 является монотонно возрастающей на всей числовой оси, поэтому возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием. И наоборот, из уравнения x3=1x^3=1 можно получить x=1x=1 извлечением кубического корня, что также равносильное преобразование. У обоих уравнений одно и то же единственное действительное решение x=1x=1.
Ответ: Уравнения равносильны, так как они имеют одно и то же множество решений (x=1x=1), и одно может быть получено из другого равносильным преобразованием (возведение в куб).

е) Второе уравнение x=25x = \sqrt[5]{2} является решением первого уравнения x5=2x^5 = 2. Оно получено путем извлечения корня пятой степени из обеих частей. Поскольку корень нечетной степени (в данном случае пятой) является однозначно определенной и монотонной функцией для всех действительных чисел, это преобразование является равносильным.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение является решением первого, полученным в результате равносильного преобразования (извлечения корня нечетной степени).

ж) Первое уравнение 2x+2=22^{x+2} = 2 можно переписать как 2x+2=212^{x+2} = 2^1. Так как показательная функция y=2ty = 2^t является монотонной, равенство значений функции возможно только при равенстве аргументов. Следовательно, равенство степеней с одинаковым основанием (a>0,a1a>0, a \ne 1) равносильно равенству их показателей. Поэтому уравнение 2x+2=212^{x+2} = 2^1 равносильно уравнению x+2=1x+2 = 1.
Ответ: Уравнения равносильны, так как равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству их показателей.

з) Обозначим t=sinxt = \sin x. Тогда первое уравнение sin3x=18\sin^3 x = \frac{1}{8} примет вид t3=18t^3 = \frac{1}{8}. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем t=12t = \frac{1}{2}. Так как функция y=z3y=z^3 монотонна, это преобразование является равносильным. Возвращаясь к исходной переменной, получаем второе уравнение: sinx=12\sin x = \frac{1}{2}.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем извлечения кубического корня из обеих частей, что является равносильным преобразованием.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 7.3 расположенного на странице 218 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.3 (с. 218), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться