Номер 7.3, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.3, страница 218.
№7.3 (с. 218)
Условие. №7.3 (с. 218)
скриншот условия

7.3 Объясните, почему равносильны уравнения:
a) и ;
б) и ;
в) и ;
г) и ;
д) и ; е) и ;
ж) и ; з) и .
Решение 1. №7.3 (с. 218)








Решение 2. №7.3 (с. 218)



Решение 4. №7.3 (с. 218)
Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Также уравнения равносильны, если одно из них можно получить из другого с помощью равносильных преобразований.
а) Второе уравнение получено из первого уравнения путем переноса слагаемого из правой части в левую с изменением знака. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую является равносильным преобразованием, так как это равносильно прибавлению (или вычитанию) одного и того же выражения к обеим частям уравнения.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого равносильным преобразованием (перенос слагаемого).
б) Второе уравнение получено из первого уравнения путем умножения обеих частей на 2. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число (в данном случае на 2) является равносильным преобразованием, так как оно не меняет множество корней уравнения.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого умножением обеих частей на ненулевое число 2.
в) Второе уравнение получено из первого путем раскрытия скобок в левой части по формуле квадрата суммы: . Тождественные преобразования выражений в одной из частей уравнения (без изменения области определения) являются равносильными.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем тождественного преобразования левой части (раскрытия скобок).
г) Второе уравнение получено из первого путем приведения подобных слагаемых в левой части: и . Упрощение выражений (приведение подобных слагаемых) является тождественным, а значит, и равносильным преобразованием.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем приведения подобных слагаемых.
д) Второе уравнение можно получить из первого возведением обеих частей в куб (). Функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси, поэтому возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием. И наоборот, из уравнения можно получить извлечением кубического корня, что также равносильное преобразование. У обоих уравнений одно и то же единственное действительное решение .
Ответ: Уравнения равносильны, так как они имеют одно и то же множество решений (), и одно может быть получено из другого равносильным преобразованием (возведение в куб).
е) Второе уравнение является решением первого уравнения . Оно получено путем извлечения корня пятой степени из обеих частей. Поскольку корень нечетной степени (в данном случае пятой) является однозначно определенной и монотонной функцией для всех действительных чисел, это преобразование является равносильным.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение является решением первого, полученным в результате равносильного преобразования (извлечения корня нечетной степени).
ж) Первое уравнение можно переписать как . Так как показательная функция является монотонной, равенство значений функции возможно только при равенстве аргументов. Следовательно, равенство степеней с одинаковым основанием () равносильно равенству их показателей. Поэтому уравнение равносильно уравнению .
Ответ: Уравнения равносильны, так как равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству их показателей.
з) Обозначим . Тогда первое уравнение примет вид . Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем . Так как функция монотонна, это преобразование является равносильным. Возвращаясь к исходной переменной, получаем второе уравнение: .
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем извлечения кубического корня из обеих частей, что является равносильным преобразованием.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 7.3 расположенного на странице 218 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.3 (с. 218), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.