Номер 7.3, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 7. Равносильность уравнений и неравенств - номер 7.3, страница 218.

Условие.

7.3 Объясните, почему равносильны уравнения:

a) $x+5=2x-3$ и $x-2x+5=-3$;

б) $\frac{1}{2}x^2+1=x^3-x$ и $x^2+2=2x^3-2x$;

в) $(x+1)^2=2x^2$ и $x^2+2x+1=2x^2$;

г) $x^2+x+2-x^3-x+1=0$ и $x^2-x^3+3=0$;

д) $x=1$ и $x^3=1$; е) $x^5=2$ и $x=\sqrt[5]{2}$;

ж) $2^{x+2}=2$ и $x+2=1$; з) $\sin^3 x=\frac{1}{8}$ и $\sin x=\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Также уравнения равносильны, если одно из них можно получить из другого с помощью равносильных преобразований.

а) Второе уравнение $x - 2x + 5 = -3$ получено из первого уравнения $x + 5 = 2x - 3$ путем переноса слагаемого $2x$ из правой части в левую с изменением знака. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую является равносильным преобразованием, так как это равносильно прибавлению (или вычитанию) одного и того же выражения к обеим частям уравнения.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого равносильным преобразованием (перенос слагаемого).

б) Второе уравнение $x^2 + 2 = 2x^3 - 2x$ получено из первого уравнения $\frac{1}{2}x^2 + 1 = x^3 - x$ путем умножения обеих частей на 2. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число (в данном случае на 2) является равносильным преобразованием, так как оно не меняет множество корней уравнения.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого умножением обеих частей на ненулевое число 2.

в) Второе уравнение $x^2 + 2x + 1 = 2x^2$ получено из первого $(x + 1)^2 = 2x^2$ путем раскрытия скобок в левой части по формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Тождественные преобразования выражений в одной из частей уравнения (без изменения области определения) являются равносильными.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем тождественного преобразования левой части (раскрытия скобок).

г) Второе уравнение $x^2 - x^3 + 3 = 0$ получено из первого $x^2 + x + 2 - x^3 - x + 1 = 0$ путем приведения подобных слагаемых в левой части: $x - x = 0$ и $2 + 1 = 3$. Упрощение выражений (приведение подобных слагаемых) является тождественным, а значит, и равносильным преобразованием.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем приведения подобных слагаемых.

д) Второе уравнение $x^3 = 1$ можно получить из первого $x = 1$ возведением обеих частей в куб ($x^3=1^3$). Функция $y=t^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, поэтому возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием. И наоборот, из уравнения $x^3=1$ можно получить $x=1$ извлечением кубического корня, что также равносильное преобразование. У обоих уравнений одно и то же единственное действительное решение $x=1$.
Ответ: Уравнения равносильны, так как они имеют одно и то же множество решений ($x=1$), и одно может быть получено из другого равносильным преобразованием (возведение в куб).

е) Второе уравнение $x = \sqrt[5]{2}$ является решением первого уравнения $x^5 = 2$. Оно получено путем извлечения корня пятой степени из обеих частей. Поскольку корень нечетной степени (в данном случае пятой) является однозначно определенной и монотонной функцией для всех действительных чисел, это преобразование является равносильным.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение является решением первого, полученным в результате равносильного преобразования (извлечения корня нечетной степени).

ж) Первое уравнение $2^{x+2} = 2$ можно переписать как $2^{x+2} = 2^1$. Так как показательная функция $y = 2^t$ является монотонной, равенство значений функции возможно только при равенстве аргументов. Следовательно, равенство степеней с одинаковым основанием ($a>0, a \ne 1$) равносильно равенству их показателей. Поэтому уравнение $2^{x+2} = 2^1$ равносильно уравнению $x+2 = 1$.
Ответ: Уравнения равносильны, так как равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству их показателей.

з) Обозначим $t = \sin x$. Тогда первое уравнение $\sin^3 x = \frac{1}{8}$ примет вид $t^3 = \frac{1}{8}$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $t = \frac{1}{2}$. Так как функция $y=z^3$ монотонна, это преобразование является равносильным. Возвращаясь к исходной переменной, получаем второе уравнение: $\sin x = \frac{1}{2}$.
Ответ: Уравнения равносильны, так как второе получено из первого путем извлечения кубического корня из обеих частей, что является равносильным преобразованием.