Номер 6.91, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.91, страница 211.

6.91 На высоте 2000 м от земли выстрелили из винтовки вверх.

Скорость вылета пули 800 м/с.

а) Напишите закон движения пули, нарисуйте его график.

б) Какой наибольшей высоты достигнет пуля?

в) Через какое время пуля достигнет наибольшей высоты?

г) Через какое время пуля упадёт на землю?

д) С какой скоростью пуля упадёт на землю?

Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение силы тяжести приближённо равным $10 \text{ м}/\text{с}^2$.

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с землей. Ось OY направим вертикально вверх, а начало отсчета (y=0) поместим на уровне земли. В этом случае:

• начальная координата пули: $y_0 = 2000 \text{ м}$
• начальная скорость пули: $v_0 = 800 \text{ м/с}$ (направлена вверх, поэтому знак "+")
• ускорение пули: $a = -g = -10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения направлено вниз, против оси OY)

а) Напишите закон движения пули, нарисуйте его график.

Общее уравнение для координаты тела при равноускоренном движении имеет вид: $y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Подставив в это уравнение заданные начальные условия, получим закон движения пули:

$y(t) = 2000 + 800t + \frac{(-10)t^2}{2}$

$y(t) = 2000 + 800t - 5t^2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика найдем ключевые точки: начальную, точку максимального подъема и точку падения.

График зависимости высоты пули от времени $y(t)$:

Ответ: Закон движения пули: $y(t) = 2000 + 800t - 5t^2$. График — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(80 \text{ с}, 34000 \text{ м})$.

б) Какой наибольшей высоты достигнет пуля?

В точке максимального подъема скорость тела становится равной нулю. Уравнение для скорости является производной от уравнения координаты по времени: $v(t) = y'(t) = v_0 + at$.

$v(t) = 800 - 10t$

Приравняем скорость к нулю, чтобы найти время подъема $t_{под}$:

$800 - 10t_{под} = 0 \implies 10t_{под} = 800 \implies t_{под} = 80 \text{ с}$

Теперь подставим это время в закон движения, чтобы найти максимальную высоту $y_{max}$:

$y_{max} = y(80) = 2000 + 800 \cdot 80 - 5 \cdot 80^2 = 2000 + 64000 - 5 \cdot 6400 = 66000 - 32000 = 34000 \text{ м}$

Ответ: Наибольшая высота, которой достигнет пуля, составляет 34000 м (или 34 км).

в) Через какое время пуля достигнет наибольшей высоты?

Как было вычислено в предыдущем пункте, время достижения наибольшей высоты — это момент, когда скорость пули обращается в ноль.

$v(t) = 800 - 10t = 0$

$t = \frac{800}{10} = 80 \text{ с}$

Ответ: Пуля достигнет наибольшей высоты через 80 с.

г) Через какое время пуля упадёт на землю?

Пуля упадет на землю, когда ее координата $y(t)$ станет равной нулю. Необходимо решить квадратное уравнение:

$2000 + 800t - 5t^2 = 0$

Разделим уравнение на -5 для упрощения:

$t^2 - 160t - 400 = 0$

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$t = \frac{160 \pm \sqrt{(-160)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400)}}{2 \cdot 1} = \frac{160 \pm \sqrt{25600 + 1600}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{27200}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{27200} = \sqrt{1600 \cdot 17} = 40\sqrt{17}$.

$t = \frac{160 \pm 40\sqrt{17}}{2} = 80 \pm 20\sqrt{17}$

Так как время не может быть отрицательным ($80 - 20\sqrt{17} < 0$), выбираем корень со знаком плюс:

$t_{пад} = 80 + 20\sqrt{17} \text{ с}$

Приближенное значение: $t_{пад} \approx 80 + 20 \cdot 4.123 \approx 80 + 82.46 \approx 162.46 \text{ с}$.

Ответ: Пуля упадёт на землю через $80 + 20\sqrt{17}$ с, что приблизительно равно 162.5 с.

д) С какой скоростью пуля упадёт на землю?

Чтобы найти скорость в момент падения, подставим время падения $t_{пад}$, найденное в пункте г), в уравнение скорости $v(t) = 800 - 10t$.

$v_{пад} = 800 - 10(80 + 20\sqrt{17}) = 800 - 800 - 200\sqrt{17} = -200\sqrt{17} \text{ м/с}$

Знак "минус" указывает, что вектор скорости направлен вниз. Величина скорости (модуль) равна $200\sqrt{17} \text{ м/с}$.

Приближенное значение скорости: $v_{пад} \approx 200 \cdot 4.123 \approx 824.6 \text{ м/с}$.

Проверим результат с помощью формулы, не содержащей времени: $v^2 = v_0^2 + 2a(y - y_0)$. В момент падения $y=0$.

$v_{пад}^2 = 800^2 + 2(-10)(0 - 2000) = 640000 + 40000 = 680000$

$v_{пад} = -\sqrt{680000} = -\sqrt{40000 \cdot 17} = -200\sqrt{17} \text{ м/с}$

Результаты совпадают.

Ответ: Пуля упадёт на землю со скоростью, модуль которой равен $200\sqrt{17}$ м/с (приблизительно 824.6 м/с). Направление скорости — вниз.