Номер 6.93, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.93, страница 211.

6.93* Кипящий электрический самовар отключили от сети и вынесли на воздух. За 12 мин он остыл до 52°. Температура воздуха 28°. Какой будет температура самовара через 24 мин?

Для решения этой задачи используется закон остывания Ньютона (или закон Ньютона-Рихмана), который описывает процесс охлаждения тела в среде с постоянной температурой. Согласно этому закону, разность температур между телом и средой уменьшается экспоненциально со временем. Математически это выражается формулой:$T(t) = T_{ср} + (T_0 - T_{ср}) \cdot e^{-kt}$где $T(t)$ — температура тела в момент времени $t$, $T_0$ — начальная температура тела, $T_{ср}$ — температура окружающей среды, а $k$ — коэффициент остывания, который зависит от свойств тела и среды.

Введем данные из условия задачи:

Начальная температура кипящего самовара (температура кипения воды при нормальном давлении) $T_0 = 100^\circ C$.

Температура окружающего воздуха $T_{ср} = 28^\circ C$.

Через время $t_1 = 12$ мин температура самовара стала $T(t_1) = 52^\circ C$.

Требуется найти температуру самовара $T(t_2)$ через время $t_2 = 24$ мин.

Сначала, используя данные за первые 12 минут, найдем экспоненциальный множитель $e^{-kt_1}$. Подставим известные значения в основную формулу:$52 = 28 + (100 - 28) \cdot e^{-k \cdot 12}$Вычтем температуру среды из обеих частей уравнения, чтобы найти разность температур:$52 - 28 = 72 \cdot e^{-12k}$$24 = 72 \cdot e^{-12k}$Теперь найдем значение множителя $e^{-12k}$:$e^{-12k} = \frac{24}{72} = \frac{1}{3}$Это показывает, что за каждые 12 минут разность температур между самоваром и воздухом уменьшается в 3 раза.

Теперь мы можем рассчитать температуру самовара через 24 минуты. Для этого подставим $t_2 = 24$ мин в исходную формулу:$T(24) = T_{ср} + (T_0 - T_{ср}) \cdot e^{-k \cdot 24}$Мы можем выразить множитель $e^{-24k}$ через уже найденный $e^{-12k}$:$e^{-24k} = e^{-12k \cdot 2} = (e^{-12k})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Подставим полученное значение в формулу для температуры в момент времени 24 мин:$T(24) = 28 + (100 - 28) \cdot \frac{1}{9}$$T(24) = 28 + 72 \cdot \frac{1}{9}$$T(24) = 28 + 8$$T(24) = 36^\circ C$

Ответ: через 24 минуты температура самовара будет 36°C.