Номер 6.88, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.88, страница 211.

6.88 Точка движется по оси x со скоростью:

a) $v = 3$;

б) $v = a$;

в) $v = 2t$;

г) $v = at$;

д) $v = \cos t$;

е) $v = e^t$.

Найдите возможные законы движения точки. Определите среди этих законов тот, для которого $x = 0$ при $t = 0$, а также тот, для которого $x = 1$ при $t = 1$.

Закон движения точки $x(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$, так как скорость — это производная координаты по времени ($v = x'(t)$). Чтобы найти все возможные законы движения, необходимо найти неопределенный интеграл от функции скорости: $x(t) = \int v(t) dt$.

а) $v = 3$

1. Находим все возможные законы движения (общий вид первообразной):

$x(t) = \int 3 \,dt = 3t + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$. Подставляем эти значения в общую формулу:

$0 = 3 \cdot 0 + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = 3t$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$. Подставляем эти значения в общую формулу:

$1 = 3 \cdot 1 + C \implies 1 = 3 + C \implies C = -2$

Таким образом, закон движения: $x(t) = 3t - 2$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = 3t + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = 3t$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = 3t - 2$.

б) $v = a$ (где $a$ - константа)

1. Находим все возможные законы движения:

$x(t) = \int a \,dt = at + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$:

$0 = a \cdot 0 + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = at$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$:

$1 = a \cdot 1 + C \implies 1 = a + C \implies C = 1 - a$

Таким образом, закон движения: $x(t) = at + 1 - a$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = at + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = at$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = at + 1 - a$.

в) $v = 2t$

1. Находим все возможные законы движения:

$x(t) = \int 2t \,dt = 2 \frac{t^2}{2} + C = t^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$:

$0 = 0^2 + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = t^2$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$:

$1 = 1^2 + C \implies 1 = 1 + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = t^2$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = t^2 + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = t^2$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = t^2$.

г) $v = at$ (где $a$ - константа)

1. Находим все возможные законы движения:

$x(t) = \int at \,dt = a \frac{t^2}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$:

$0 = a \frac{0^2}{2} + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = \frac{at^2}{2}$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$:

$1 = a \frac{1^2}{2} + C \implies 1 = \frac{a}{2} + C \implies C = 1 - \frac{a}{2}$

Таким образом, закон движения: $x(t) = \frac{at^2}{2} + 1 - \frac{a}{2}$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = \frac{at^2}{2} + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = \frac{at^2}{2}$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = \frac{at^2}{2} + 1 - \frac{a}{2}$.

д) $v = \cos t$

1. Находим все возможные законы движения:

$x(t) = \int \cos t \,dt = \sin t + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$:

$0 = \sin 0 + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = \sin t$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$:

$1 = \sin 1 + C \implies C = 1 - \sin 1$

Таким образом, закон движения: $x(t) = \sin t + 1 - \sin 1$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = \sin t + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = \sin t$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = \sin t + 1 - \sin 1$.

е) $v = e^t$

1. Находим все возможные законы движения:

$x(t) = \int e^t \,dt = e^t + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$:

$0 = e^0 + C \implies 0 = 1 + C \implies C = -1$

Таким образом, закон движения: $x(t) = e^t - 1$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$:

$1 = e^1 + C \implies C = 1 - e$

Таким образом, закон движения: $x(t) = e^t + 1 - e$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = e^t + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = e^t - 1$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = e^t + 1 - e$.