Номер 6.90, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.90, страница 211.

6.90 Материальная точка падает с высоты 1000 м. Через сколько секунд она упадёт на землю и с какой скоростью? Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение силы тяжести приближённо равным $10 \text{ м/с}^2$.

Для решения задачи воспользуемся формулами для равноускоренного движения, так как свободное падение тела (при пренебрежении сопротивлением воздуха) является частным случаем такого движения с постоянным ускорением $g$.

Исходные данные задачи:
Высота: $h = 1000$ м.
Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с (поскольку материальная точка "падает", а не брошена).
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с².

Через сколько секунд она упадёт на землю

Расстояние, пройденное телом при равноускоренном движении, определяется формулой: $h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Так как начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается: $h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим из этой формулы время падения $t$: $2h = gt^2 \implies t^2 = \frac{2h}{g} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим известные значения и вычислим: $t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{2000}{10}} \text{ с} = \sqrt{200} \text{ с}$

Упростим полученное значение: $t = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ с.

Ответ: материальная точка упадёт на землю через $10\sqrt{2}$ секунд (приблизительно 14,14 с).

С какой скоростью

Скорость тела в момент падения (конечная скорость) вычисляется по формуле: $v = v_0 + gt$

Так как $v_0 = 0$, формула принимает вид: $v = gt$

Подставим значение ускорения $g$ и найденное ранее время $t = 10\sqrt{2}$ с: $v = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 10\sqrt{2} \text{ с} = 100\sqrt{2}$ м/с.

Для проверки можно также использовать формулу, не зависящую от времени: $v^2 = v_0^2 + 2gh$. Так как $v_0=0$, то $v = \sqrt{2gh}$. $v = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1000 \text{ м}} = \sqrt{20000 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 100\sqrt{2}$ м/с.

Ответ: скорость материальной точки в момент падения на землю будет равна $100\sqrt{2}$ м/с (приблизительно 141,4 м/с).