Номер 6.86, страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.86, страница 206.

6.86 Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию:

а) $y' = 4x^3$, $y(0) = 1$;

б) $y' = 5 \sin x$, $y(0) = 0$;

в) $y' = 6 \cos x$, $y(\pi) = 5$;

г) $y' = 7 \sin x - 8 \cos x$, $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$;

д) $y'' = 66x$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 3$;

е) $y'' = -36x$, $y(0) = 0$; $y'(0) = 2$.

а)

Дано дифференциальное уравнение $y' = 4x^3$ с начальным условием $y(0) = 1$.

Для нахождения функции $y(x)$ необходимо проинтегрировать правую часть уравнения по переменной $x$. Это даст нам общее решение дифференциального уравнения.

$y(x) = \int 4x^3 \,dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C = x^4 + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования. Мы получили общее решение $y(x) = x^4 + C$.

Чтобы найти частное решение, используем начальное условие $y(0) = 1$. Подставим значения $x=0$ и $y=1$ в общее решение:

$1 = (0)^4 + C$

$1 = 0 + C$

$C = 1$.

Теперь подставляем найденное значение $C=1$ обратно в общее решение, чтобы получить частное решение, удовлетворяющее заданному условию.

Ответ: $y = x^4 + 1$.

б)

Дано дифференциальное уравнение $y' = 5 \sin x$ с начальным условием $y(0) = 0$.

Интегрируем правую часть уравнения для нахождения общего решения:

$y(x) = \int 5 \sin x \,dx = 5 \int \sin x \,dx = 5(-\cos x) + C = -5 \cos x + C$.

Общее решение: $y(x) = -5 \cos x + C$.

Используем начальное условие $y(0) = 0$. Подставляем $x=0$ и $y=0$:

$0 = -5 \cos(0) + C$.

Так как $\cos(0) = 1$, получаем:

$0 = -5(1) + C$

$C = 5$.

Подставляем значение $C=5$ в общее решение.

Ответ: $y = -5 \cos x + 5$.

в)

Дано дифференциальное уравнение $y' = 6 \cos x$ с начальным условием $y(\pi) = 5$.

Находим общее решение путем интегрирования:

$y(x) = \int 6 \cos x \,dx = 6 \int \cos x \,dx = 6 \sin x + C$.

Общее решение: $y(x) = 6 \sin x + C$.

Используем начальное условие $y(\pi) = 5$. Подставляем $x=\pi$ и $y=5$:

$5 = 6 \sin(\pi) + C$.

Так как $\sin(\pi) = 0$, получаем:

$5 = 6(0) + C$

$C = 5$.

Подставляем значение $C=5$ в общее решение.

Ответ: $y = 6 \sin x + 5$.

г)

Дано дифференциальное уравнение $y' = 7 \sin x - 8 \cos x$ с начальным условием $y(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Интегрируем правую часть уравнения:

$y(x) = \int (7 \sin x - 8 \cos x) \,dx = 7 \int \sin x \,dx - 8 \int \cos x \,dx = -7 \cos x - 8 \sin x + C$.

Общее решение: $y(x) = -7 \cos x - 8 \sin x + C$.

Используем начальное условие $y(\frac{\pi}{2}) = 0$. Подставляем $x=\frac{\pi}{2}$ и $y=0$:

$0 = -7 \cos(\frac{\pi}{2}) - 8 \sin(\frac{\pi}{2}) + C$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$0 = -7(0) - 8(1) + C$

$0 = -8 + C$

$C = 8$.

Подставляем значение $C=8$ в общее решение.

Ответ: $y = -7 \cos x - 8 \sin x + 8$.

д)

Дано дифференциальное уравнение второго порядка $y'' = 66x$ с начальными условиями $y(0) = 1$ и $y'(0) = 3$.

Для нахождения $y(x)$ необходимо проинтегрировать уравнение дважды.

Первое интегрирование (для нахождения $y'(x)$):

$y'(x) = \int 66x \,dx = 66 \frac{x^2}{2} + C_1 = 33x^2 + C_1$.

Используем условие для производной $y'(0) = 3$, чтобы найти $C_1$:

$3 = 33(0)^2 + C_1$

$C_1 = 3$.

Таким образом, $y'(x) = 33x^2 + 3$.

Второе интегрирование (для нахождения $y(x)$):

$y(x) = \int (33x^2 + 3) \,dx = 33 \frac{x^3}{3} + 3x + C_2 = 11x^3 + 3x + C_2$.

Используем условие для функции $y(0) = 1$, чтобы найти $C_2$:

$1 = 11(0)^3 + 3(0) + C_2$

$C_2 = 1$.

Подставляем найденные константы в выражение для $y(x)$.

Ответ: $y = 11x^3 + 3x + 1$.

е)

Дано дифференциальное уравнение второго порядка $y'' = -36x$ с начальными условиями $y(0) = 0$ и $y'(0) = 2$.

Интегрируем уравнение первый раз, чтобы найти $y'(x)$:

$y'(x) = \int (-36x) \,dx = -36 \frac{x^2}{2} + C_1 = -18x^2 + C_1$.

Используем условие $y'(0) = 2$ для нахождения $C_1$:

$2 = -18(0)^2 + C_1$

$C_1 = 2$.

Получаем $y'(x) = -18x^2 + 2$.

Интегрируем второй раз, чтобы найти $y(x)$:

$y(x) = \int (-18x^2 + 2) \,dx = -18 \frac{x^3}{3} + 2x + C_2 = -6x^3 + 2x + C_2$.

Используем условие $y(0) = 0$ для нахождения $C_2$:

$0 = -6(0)^3 + 2(0) + C_2$

$C_2 = 0$.

Подставляем найденные константы и получаем частное решение.

Ответ: $y = -6x^3 + 2x$.