Номер 6.80, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.80, страница 201.

6.80* К движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой сила $F = f(x)$, где $x$ — координата движущейся точки. Вычислите работу силы $F$ по перемещению точки от точки $x = a$ до точки $x = b$, если:

a) $f(x) = 2x - 1, a = 0, b = 3;$

б) $f(x) = -x^2 + 4, a = 0, b = 2.$

Работа $A$, совершаемая переменной силой $F = f(x)$ при перемещении материальной точки вдоль оси $Ox$ из положения $x = a$ в положение $x = b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле:

$A = \int_a^b f(x) \,dx$

а)

В данном случае функция силы $f(x) = 2x - 1$, начальная координата $a = 0$, конечная координата $b = 3$.

Вычислим работу $A$:

$A = \int_0^3 (2x - 1) \,dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 1$:

$F(x) = \int (2x - 1) \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x = x^2 - x$

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

$A = \int_0^3 (2x - 1) \,dx = (x^2 - x) \bigg|_0^3 = (3^2 - 3) - (0^2 - 0) = (9 - 3) - 0 = 6$

Ответ: 6.

б)

В данном случае функция силы $f(x) = -x^2 + 4$, начальная координата $a = 0$, конечная координата $b = 2$.

Вычислим работу $A$:

$A = \int_0^2 (-x^2 + 4) \,dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = -x^2 + 4$:

$F(x) = \int (-x^2 + 4) \,dx = -\frac{x^3}{3} + 4x$

Теперь вычислим значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$A = \int_0^2 (-x^2 + 4) \,dx = (-\frac{x^3}{3} + 4x) \bigg|_0^2 = (-\frac{2^3}{3} + 4 \cdot 2) - (-\frac{0^3}{3} + 4 \cdot 0) = (-\frac{8}{3} + 8) - 0 = \frac{-8 + 24}{3} = \frac{16}{3}$

Ответ: $\frac{16}{3}$.