Номер 6.79, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.79, страница 201.

6.79 Вычислите объём тела, полученного вращением кривой – графика функции $y = x^2, -2 \leq x \leq 2$, вокруг оси $Oy$.

Для нахождения объёма тела, полученного вращением кривой вокруг оси $Oy$, применяется метод дисков. Объём такого тела вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{c}^{d} x^2 \, dy$

где $x^2$ является функцией от $y$, а $c$ и $d$ — это пределы интегрирования по оси $y$.

Нам дана кривая $y = x^2$ на отрезке $x \in [-2, 2]$. Сначала определим пределы интегрирования по переменной $y$.

Нижний предел $c$ соответствует минимальному значению $y$ на заданном отрезке для $x$. Минимальное значение $y$ достигается при $x=0$:

$c = y(0) = 0^2 = 0$

Верхний предел $d$ соответствует максимальному значению $y$. Так как функция $y=x^2$ является чётной, её максимальное значение на симметричном отрезке $[-2, 2]$ будет достигаться на его концах, то есть при $x = \pm 2$:

$d = y(\pm 2) = (\pm 2)^2 = 4$

Таким образом, интегрирование будет производиться в пределах от $y=0$ до $y=4$.

Из уравнения кривой $y = x^2$ мы можем выразить $x^2$ через $y$, что нам и требуется для формулы объёма: $x^2 = y$.

Теперь подставим всё в интеграл и вычислим его:

$V = \pi \int_{0}^{4} y \, dy$

Вычисляем полученный определённый интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$

Следовательно, объём тела вращения равен $8\pi$.

Ответ: $8\pi$.