Номер 6.84, страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.84, страница 206.

6.84 a) $y' = 5y, y = e^{5x};$

В) $y'' = 16y, y = e^{-4x};$

б) $y'' = 25y, y = e^{5x};$

Г) $y'' = -9y, y = \sin(3x + 5).$

а) Чтобы проверить, является ли функция $y = e^{5x}$ решением дифференциального уравнения $y' = 5y$, необходимо найти производную данной функции и подставить её в уравнение.

1. Находим производную функции $y = e^{5x}$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$:

$y' = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}$.

2. Подставляем полученную производную $y'$ и исходную функцию $y$ в уравнение $y' = 5y$:

Левая часть: $y' = 5e^{5x}$.

Правая часть: $5y = 5 \cdot e^{5x} = 5e^{5x}$.

3. Сравниваем левую и правую части:

$5e^{5x} = 5e^{5x}$.

Тождество верно, следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: Да, функция $y = e^{5x}$ является решением дифференциального уравнения $y' = 5y$.

б) Чтобы проверить, является ли функция $y = e^{5x}$ решением дифференциального уравнения $y'' = 25y$, необходимо найти вторую производную данной функции и подставить её в уравнение.

1. Находим первую производную (как в пункте а):

$y' = (e^{5x})' = 5e^{5x}$.

2. Находим вторую производную:

$y'' = (5e^{5x})' = 5 \cdot (e^{5x})' = 5 \cdot (5e^{5x}) = 25e^{5x}$.

3. Подставляем вторую производную $y''$ и исходную функцию $y$ в уравнение $y'' = 25y$:

Левая часть: $y'' = 25e^{5x}$.

Правая часть: $25y = 25 \cdot e^{5x} = 25e^{5x}$.

4. Сравниваем левую и правую части:

$25e^{5x} = 25e^{5x}$.

Тождество верно, следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: Да, функция $y = e^{5x}$ является решением дифференциального уравнения $y'' = 25y$.

в) Чтобы проверить, является ли функция $y = e^{-4x}$ решением дифференциального уравнения $y'' = 16y$, необходимо найти вторую производную данной функции и подставить её в уравнение.

1. Находим первую производную:

$y' = (e^{-4x})' = e^{-4x} \cdot (-4x)' = -4e^{-4x}$.

2. Находим вторую производную:

$y'' = (-4e^{-4x})' = -4 \cdot (e^{-4x})' = -4 \cdot (-4e^{-4x}) = 16e^{-4x}$.

3. Подставляем вторую производную $y''$ и исходную функцию $y$ в уравнение $y'' = 16y$:

Левая часть: $y'' = 16e^{-4x}$.

Правая часть: $16y = 16 \cdot e^{-4x} = 16e^{-4x}$.

4. Сравниваем левую и правую части:

$16e^{-4x} = 16e^{-4x}$.

Тождество верно, следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: Да, функция $y = e^{-4x}$ является решением дифференциального уравнения $y'' = 16y$.

г) Чтобы проверить, является ли функция $y = \sin(3x + 5)$ решением дифференциального уравнения $y'' = -9y$, необходимо найти вторую производную данной функции и подставить её в уравнение.

1. Находим первую производную, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$:

$y' = (\sin(3x + 5))' = \cos(3x + 5) \cdot (3x + 5)' = 3\cos(3x + 5)$.

2. Находим вторую производную, используя правило $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$:

$y'' = (3\cos(3x + 5))' = 3 \cdot (\cos(3x + 5))' = 3 \cdot (-\sin(3x + 5) \cdot (3x + 5)') = 3 \cdot (-\sin(3x + 5) \cdot 3) = -9\sin(3x + 5)$.

3. Подставляем вторую производную $y''$ и исходную функцию $y$ в уравнение $y'' = -9y$:

Левая часть: $y'' = -9\sin(3x + 5)$.

Правая часть: $-9y = -9 \cdot \sin(3x + 5) = -9\sin(3x + 5)$.

4. Сравниваем левую и правую части:

$-9\sin(3x + 5) = -9\sin(3x + 5)$.

Тождество верно, следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: Да, функция $y = \sin(3x + 5)$ является решением дифференциального уравнения $y'' = -9y$.