Страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Покажите, что функция $y = y(x)$ является решением дифференциального уравнения, если (6.83–6.84):

6.83 а) $y' = x^3, y = \frac{1}{4}x^4 + 5;$ б) $y' = \sin x, y = -\cos x - 1;$

в) $y' = \cos x - 7, y = \sin x - 7x + 2;$

г) $y' = 3 \sin x + 4 \cos x + 7, y = -3 \cos x + 4 \sin x + 7x - 3.$

Укажите общее решение дифференциального уравнения.

а)

Дано дифференциальное уравнение $y' = x^3$ и функция $y = \frac{1}{4}x^4 + 5$.
Чтобы проверить, является ли функция решением, найдем ее производную:
$y' = \left(\frac{1}{4}x^4 + 5\right)' = \frac{1}{4}(x^4)' + (5)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} + 0 = x^3$.
Полученное выражение $y' = x^3$ совпадает с правой частью исходного дифференциального уравнения. Следовательно, функция $y = \frac{1}{4}x^4 + 5$ является его решением.
Общее решение дифференциального уравнения находим путем интегрирования правой части:
$y = \int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = \frac{1}{4}x^4 + C$.

б)

Дано дифференциальное уравнение $y' = \sin x$ и функция $y = -\cos x - 1$.
Чтобы проверить, является ли функция решением, найдем ее производную:
$y' = (-\cos x - 1)' = -(\cos x)' - (1)' = -(-\sin x) - 0 = \sin x$.
Полученное выражение $y' = \sin x$ совпадает с правой частью исходного дифференциального уравнения. Следовательно, функция $y = -\cos x - 1$ является его решением.
Общее решение дифференциального уравнения находим путем интегрирования правой части:
$y = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = -\cos x + C$.

в)

Дано дифференциальное уравнение $y' = \cos x - 7$ и функция $y = \sin x - 7x + 2$.
Чтобы проверить, является ли функция решением, найдем ее производную:
$y' = (\sin x - 7x + 2)' = (\sin x)' - (7x)' + (2)' = \cos x - 7 + 0 = \cos x - 7$.
Полученное выражение $y' = \cos x - 7$ совпадает с правой частью исходного дифференциального уравнения. Следовательно, функция $y = \sin x - 7x + 2$ является его решением.
Общее решение дифференциального уравнения находим путем интегрирования правой части:
$y = \int (\cos x - 7) \,dx = \int \cos x \,dx - \int 7 \,dx = \sin x - 7x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = \sin x - 7x + C$.

г)

Дано дифференциальное уравнение $y' = 3\sin x + 4\cos x + 7$ и функция $y = -3\cos x + 4\sin x + 7x - 3$.
Чтобы проверить, является ли функция решением, найдем ее производную:
$y' = (-3\cos x + 4\sin x + 7x - 3)' = -3(\cos x)' + 4(\sin x)' + (7x)' - (3)' = -3(-\sin x) + 4(\cos x) + 7 - 0 = 3\sin x + 4\cos x + 7$.
Полученное выражение $y' = 3\sin x + 4\cos x + 7$ совпадает с правой частью исходного дифференциального уравнения. Следовательно, функция $y = -3\cos x + 4\sin x + 7x - 3$ является его решением.
Общее решение дифференциального уравнения находим путем интегрирования правой части:
$y = \int (3\sin x + 4\cos x + 7) \,dx = 3\int \sin x \,dx + 4\int \cos x \,dx + \int 7 \,dx = 3(-\cos x) + 4(\sin x) + 7x + C = -3\cos x + 4\sin x + 7x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = -3\cos x + 4\sin x + 7x + C$.

6.84 a) $y' = 5y, y = e^{5x};$

В) $y'' = 16y, y = e^{-4x};$

б) $y'' = 25y, y = e^{5x};$

Г) $y'' = -9y, y = \sin(3x + 5).$

а) Чтобы проверить, является ли функция $y = e^{5x}$ решением дифференциального уравнения $y' = 5y$, необходимо найти производную данной функции и подставить её в уравнение.

1. Находим производную функции $y = e^{5x}$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$:

$y' = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}$.

2. Подставляем полученную производную $y'$ и исходную функцию $y$ в уравнение $y' = 5y$:

Левая часть: $y' = 5e^{5x}$.

Правая часть: $5y = 5 \cdot e^{5x} = 5e^{5x}$.

3. Сравниваем левую и правую части:

$5e^{5x} = 5e^{5x}$.

Тождество верно, следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: Да, функция $y = e^{5x}$ является решением дифференциального уравнения $y' = 5y$.

б) Чтобы проверить, является ли функция $y = e^{5x}$ решением дифференциального уравнения $y'' = 25y$, необходимо найти вторую производную данной функции и подставить её в уравнение.

1. Находим первую производную (как в пункте а):

$y' = (e^{5x})' = 5e^{5x}$.

2. Находим вторую производную:

$y'' = (5e^{5x})' = 5 \cdot (e^{5x})' = 5 \cdot (5e^{5x}) = 25e^{5x}$.

3. Подставляем вторую производную $y''$ и исходную функцию $y$ в уравнение $y'' = 25y$:

Левая часть: $y'' = 25e^{5x}$.

Правая часть: $25y = 25 \cdot e^{5x} = 25e^{5x}$.

4. Сравниваем левую и правую части:

$25e^{5x} = 25e^{5x}$.

Тождество верно, следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: Да, функция $y = e^{5x}$ является решением дифференциального уравнения $y'' = 25y$.

в) Чтобы проверить, является ли функция $y = e^{-4x}$ решением дифференциального уравнения $y'' = 16y$, необходимо найти вторую производную данной функции и подставить её в уравнение.

1. Находим первую производную:

$y' = (e^{-4x})' = e^{-4x} \cdot (-4x)' = -4e^{-4x}$.

2. Находим вторую производную:

$y'' = (-4e^{-4x})' = -4 \cdot (e^{-4x})' = -4 \cdot (-4e^{-4x}) = 16e^{-4x}$.

3. Подставляем вторую производную $y''$ и исходную функцию $y$ в уравнение $y'' = 16y$:

Левая часть: $y'' = 16e^{-4x}$.

Правая часть: $16y = 16 \cdot e^{-4x} = 16e^{-4x}$.

4. Сравниваем левую и правую части:

$16e^{-4x} = 16e^{-4x}$.

Тождество верно, следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: Да, функция $y = e^{-4x}$ является решением дифференциального уравнения $y'' = 16y$.

г) Чтобы проверить, является ли функция $y = \sin(3x + 5)$ решением дифференциального уравнения $y'' = -9y$, необходимо найти вторую производную данной функции и подставить её в уравнение.

1. Находим первую производную, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$:

$y' = (\sin(3x + 5))' = \cos(3x + 5) \cdot (3x + 5)' = 3\cos(3x + 5)$.

2. Находим вторую производную, используя правило $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$:

$y'' = (3\cos(3x + 5))' = 3 \cdot (\cos(3x + 5))' = 3 \cdot (-\sin(3x + 5) \cdot (3x + 5)') = 3 \cdot (-\sin(3x + 5) \cdot 3) = -9\sin(3x + 5)$.

3. Подставляем вторую производную $y''$ и исходную функцию $y$ в уравнение $y'' = -9y$:

Левая часть: $y'' = -9\sin(3x + 5)$.

Правая часть: $-9y = -9 \cdot \sin(3x + 5) = -9\sin(3x + 5)$.

4. Сравниваем левую и правую части:

$-9\sin(3x + 5) = -9\sin(3x + 5)$.

Тождество верно, следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: Да, функция $y = \sin(3x + 5)$ является решением дифференциального уравнения $y'' = -9y$.

6.85 Покажите, что функция $y = C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x$ является решением дифференциального уравнения $y'' = -\omega^2 y$.

Для того чтобы показать, что функция $y = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$ является решением дифференциального уравнения $y'' = -\omega^2 y$, необходимо найти вторую производную этой функции и подставить ее в уравнение. Если в результате подстановки мы получим верное тождество, то функция действительно является решением.

1. Находим первую производную функции $y$ по $x$.

Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции. Помним, что производная $\cos(u)$ равна $-\sin(u) \cdot u'$, а производная $\sin(u)$ равна $\cos(u) \cdot u'$. В нашем случае $u = \omega x$, поэтому $u' = \omega$.

$y' = \frac{d}{dx}(C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)) = C_1 \cdot (-\sin(\omega x) \cdot \omega) + C_2 \cdot (\cos(\omega x) \cdot \omega)$

Упрощая, получаем:

$y' = -C_1 \omega \sin(\omega x) + C_2 \omega \cos(\omega x)$

2. Находим вторую производную функции $y$ по $x$.

Теперь дифференцируем полученное выражение для $y'$:

$y'' = \frac{d}{dx}(-C_1 \omega \sin(\omega x) + C_2 \omega \cos(\omega x)) = -C_1 \omega \cdot (\cos(\omega x) \cdot \omega) + C_2 \omega \cdot (-\sin(\omega x) \cdot \omega)$

Упрощая, получаем:

$y'' = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x)$

3. Подставляем $y''$ и $y$ в дифференциальное уравнение.

Исходное дифференциальное уравнение: $y'' = -\omega^2 y$.

Подставим в левую часть найденное выражение для $y''$:

$y'' = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x)$

Теперь рассмотрим правую часть уравнения, подставив в нее исходную функцию $y$:

$-\omega^2 y = -\omega^2 (C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)) = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x)$

Сравнивая левую и правую части, видим, что они тождественны:

$-C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x) = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x)$

Также можно было вынести общий множитель $-\omega^2$ из выражения для $y''$:

$y'' = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x) = -\omega^2 (C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x))$

Так как выражение в скобках равно исходной функции $y$, мы получаем:

$y'' = -\omega^2 y$

Это полностью совпадает с данным дифференциальным уравнением, что и требовалось доказать.

Ответ: Мы нашли первую и вторую производные функции $y = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$. Подстановка второй производной $y'' = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) - C_2 \omega^2 \sin(\omega x)$ и исходной функции $y$ в дифференциальное уравнение $y'' = -\omega^2 y$ приводит к верному тождеству, что доказывает, что данная функция является его решением.

6.86 Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию:

а) $y' = 4x^3$, $y(0) = 1$;

б) $y' = 5 \sin x$, $y(0) = 0$;

в) $y' = 6 \cos x$, $y(\pi) = 5$;

г) $y' = 7 \sin x - 8 \cos x$, $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$;

д) $y'' = 66x$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 3$;

е) $y'' = -36x$, $y(0) = 0$; $y'(0) = 2$.

а)

Дано дифференциальное уравнение $y' = 4x^3$ с начальным условием $y(0) = 1$.

Для нахождения функции $y(x)$ необходимо проинтегрировать правую часть уравнения по переменной $x$. Это даст нам общее решение дифференциального уравнения.

$y(x) = \int 4x^3 \,dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C = x^4 + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования. Мы получили общее решение $y(x) = x^4 + C$.

Чтобы найти частное решение, используем начальное условие $y(0) = 1$. Подставим значения $x=0$ и $y=1$ в общее решение:

$1 = (0)^4 + C$

$1 = 0 + C$

$C = 1$.

Теперь подставляем найденное значение $C=1$ обратно в общее решение, чтобы получить частное решение, удовлетворяющее заданному условию.

Ответ: $y = x^4 + 1$.

б)

Дано дифференциальное уравнение $y' = 5 \sin x$ с начальным условием $y(0) = 0$.

Интегрируем правую часть уравнения для нахождения общего решения:

$y(x) = \int 5 \sin x \,dx = 5 \int \sin x \,dx = 5(-\cos x) + C = -5 \cos x + C$.

Общее решение: $y(x) = -5 \cos x + C$.

Используем начальное условие $y(0) = 0$. Подставляем $x=0$ и $y=0$:

$0 = -5 \cos(0) + C$.

Так как $\cos(0) = 1$, получаем:

$0 = -5(1) + C$

$C = 5$.

Подставляем значение $C=5$ в общее решение.

Ответ: $y = -5 \cos x + 5$.

в)

Дано дифференциальное уравнение $y' = 6 \cos x$ с начальным условием $y(\pi) = 5$.

Находим общее решение путем интегрирования:

$y(x) = \int 6 \cos x \,dx = 6 \int \cos x \,dx = 6 \sin x + C$.

Общее решение: $y(x) = 6 \sin x + C$.

Используем начальное условие $y(\pi) = 5$. Подставляем $x=\pi$ и $y=5$:

$5 = 6 \sin(\pi) + C$.

Так как $\sin(\pi) = 0$, получаем:

$5 = 6(0) + C$

$C = 5$.

Подставляем значение $C=5$ в общее решение.

Ответ: $y = 6 \sin x + 5$.

г)

Дано дифференциальное уравнение $y' = 7 \sin x - 8 \cos x$ с начальным условием $y(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Интегрируем правую часть уравнения:

$y(x) = \int (7 \sin x - 8 \cos x) \,dx = 7 \int \sin x \,dx - 8 \int \cos x \,dx = -7 \cos x - 8 \sin x + C$.

Общее решение: $y(x) = -7 \cos x - 8 \sin x + C$.

Используем начальное условие $y(\frac{\pi}{2}) = 0$. Подставляем $x=\frac{\pi}{2}$ и $y=0$:

$0 = -7 \cos(\frac{\pi}{2}) - 8 \sin(\frac{\pi}{2}) + C$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$0 = -7(0) - 8(1) + C$

$0 = -8 + C$

$C = 8$.

Подставляем значение $C=8$ в общее решение.

Ответ: $y = -7 \cos x - 8 \sin x + 8$.

д)

Дано дифференциальное уравнение второго порядка $y'' = 66x$ с начальными условиями $y(0) = 1$ и $y'(0) = 3$.

Для нахождения $y(x)$ необходимо проинтегрировать уравнение дважды.

Первое интегрирование (для нахождения $y'(x)$):

$y'(x) = \int 66x \,dx = 66 \frac{x^2}{2} + C_1 = 33x^2 + C_1$.

Используем условие для производной $y'(0) = 3$, чтобы найти $C_1$:

$3 = 33(0)^2 + C_1$

$C_1 = 3$.

Таким образом, $y'(x) = 33x^2 + 3$.

Второе интегрирование (для нахождения $y(x)$):

$y(x) = \int (33x^2 + 3) \,dx = 33 \frac{x^3}{3} + 3x + C_2 = 11x^3 + 3x + C_2$.

Используем условие для функции $y(0) = 1$, чтобы найти $C_2$:

$1 = 11(0)^3 + 3(0) + C_2$

$C_2 = 1$.

Подставляем найденные константы в выражение для $y(x)$.

Ответ: $y = 11x^3 + 3x + 1$.

е)

Дано дифференциальное уравнение второго порядка $y'' = -36x$ с начальными условиями $y(0) = 0$ и $y'(0) = 2$.

Интегрируем уравнение первый раз, чтобы найти $y'(x)$:

$y'(x) = \int (-36x) \,dx = -36 \frac{x^2}{2} + C_1 = -18x^2 + C_1$.

Используем условие $y'(0) = 2$ для нахождения $C_1$:

$2 = -18(0)^2 + C_1$

$C_1 = 2$.

Получаем $y'(x) = -18x^2 + 2$.

Интегрируем второй раз, чтобы найти $y(x)$:

$y(x) = \int (-18x^2 + 2) \,dx = -18 \frac{x^3}{3} + 2x + C_2 = -6x^3 + 2x + C_2$.

Используем условие $y(0) = 0$ для нахождения $C_2$:

$0 = -6(0)^3 + 2(0) + C_2$

$C_2 = 0$.

Подставляем найденные константы и получаем частное решение.

Ответ: $y = -6x^3 + 2x$.

6.87* Для дифференциального уравнения $y'' + 4y = 0$ найдите решение, удовлетворяющее условиям:

a) $y(0) = 2, y'(0) = 3;$

б) $y(0) = 2, y'(0) = 0;$

в) $y(0) = 0, y'(0) = 3.$

Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его вид: $y'' + 4y = 0$.

Сначала найдем общее решение. Для этого составим и решим характеристическое уравнение:

$k^2 + 4 = 0$

$k^2 = -4$

$k = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i$

Корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными: $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$, где $\alpha = 0$ и $\beta = 2$. Общее решение в этом случае имеет вид:

$y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$

Подставляя наши значения $\alpha$ и $\beta$, получаем общее решение дифференциального уравнения:

$y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$

Для использования начальных условий для производной, найдем производную общего решения:

$y'(x) = -2C_1 \sin(2x) + 2C_2 \cos(2x)$

Теперь, используя заданные начальные условия, найдем значения констант $C_1$ и $C_2$ для каждого случая.

а) $y(0) = 2, y'(0) = 3$

Подставляем $x=0$ в общее решение и его производную, используя начальные условия:

$y(0) = C_1 \cos(2 \cdot 0) + C_2 \sin(2 \cdot 0) = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = C_1 = 2$

$y'(0) = -2C_1 \sin(2 \cdot 0) + 2C_2 \cos(2 \cdot 0) = -2C_1 \cdot 0 + 2C_2 \cdot 1 = 2C_2 = 3$

Из полученной системы уравнений находим константы:

$C_1 = 2$

$C_2 = \frac{3}{2}$

Подставляем найденные значения констант в общее решение, чтобы получить частное решение:

$y(x) = 2 \cos(2x) + \frac{3}{2} \sin(2x)$

Ответ: $y(x) = 2 \cos(2x) + \frac{3}{2} \sin(2x)$.

б) $y(0) = 2, y'(0) = 0$

Подставляем $x=0$ в общее решение и его производную:

$y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = 2$

$y'(0) = -2C_1 \sin(0) + 2C_2 \cos(0) = 2C_2 = 0$

Находим константы:

$C_1 = 2$

$C_2 = 0$

Частное решение в этом случае:

$y(x) = 2 \cos(2x) + 0 \cdot \sin(2x) = 2 \cos(2x)$

Ответ: $y(x) = 2 \cos(2x)$.

в) $y(0) = 0, y'(0) = 3$

Подставляем $x=0$ в общее решение и его производную:

$y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = 0$

$y'(0) = -2C_1 \sin(0) + 2C_2 \cos(0) = 2C_2 = 3$

Находим константы:

$C_1 = 0$

$C_2 = \frac{3}{2}$

Частное решение в этом случае:

$y(x) = 0 \cdot \cos(2x) + \frac{3}{2} \sin(2x) = \frac{3}{2} \sin(2x)$

Ответ: $y(x) = \frac{3}{2} \sin(2x)$.