Номер 7.10, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.10, страница 219.

7.10 a) $ \frac{4^{1 - 2x}}{8} = 0,5 \cdot 2^{1,2 + 2x}; $

Б) $ 0,2 \cdot 5^{0,2x + 3} = \frac{25^{0,2 - x}}{125}; $

В) $ \frac{3^{1 + 3x}}{9} = 27 \cdot 3^{1 - 2x}; $

Г) $ \frac{2}{3} \cdot 4^x - 2 = \frac{8^{3 - 2x}}{12}; $

Д) $ (0,81)^{-2x} = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2 - 3}; $

е) $ \left(\frac{2}{9}\right)^{x^2 - 1} = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{1,5x}. $

а) Заданное уравнение: $ \frac{4^{1-2x}}{8} = 0,5 \cdot 2^{1,2+2x} $.
Для решения приведем все части уравнения к основанию 2.
Мы знаем, что $4 = 2^2$, $8 = 2^3$ и $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$ \frac{(2^2)^{1-2x}}{2^3} = 2^{-1} \cdot 2^{1,2+2x} $
Применим свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Левая часть: $ \frac{2^{2(1-2x)}}{2^3} = \frac{2^{2-4x}}{2^3} = 2^{(2-4x) - 3} = 2^{-1-4x} $.
Правая часть: $ 2^{-1} \cdot 2^{1,2+2x} = 2^{-1 + 1,2 + 2x} = 2^{0,2+2x} $.
Теперь уравнение имеет вид:
$ 2^{-1-4x} = 2^{0,2+2x} $
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$ -1 - 4x = 0,2 + 2x $
Решим полученное линейное уравнение:
$ -4x - 2x = 0,2 + 1 $
$ -6x = 1,2 $
$ x = \frac{1,2}{-6} = -0,2 $
Ответ: $x = -0,2$.

б) Заданное уравнение: $ 0,2 \cdot 5^{0,2x+3} = \frac{25^{0,2-x}}{125} $.
Приведем все части уравнения к основанию 5.
Мы знаем, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в уравнение:
$ 5^{-1} \cdot 5^{0,2x+3} = \frac{(5^2)^{0,2-x}}{5^3} $
Упростим обе части уравнения, используя свойства степеней:
Левая часть: $ 5^{-1 + 0,2x + 3} = 5^{0,2x+2} $.
Правая часть: $ \frac{5^{2(0,2-x)}}{5^3} = \frac{5^{0,4-2x}}{5^3} = 5^{(0,4-2x)-3} = 5^{-2,6-2x} $.
Получаем уравнение:
$ 5^{0,2x+2} = 5^{-2,6-2x} $
Приравниваем показатели степеней:
$ 0,2x + 2 = -2,6 - 2x $
Решаем уравнение:
$ 0,2x + 2x = -2,6 - 2 $
$ 2,2x = -4,6 $
$ x = \frac{-4,6}{2,2} = -\frac{46}{22} = -\frac{23}{11} $
Ответ: $x = -\frac{23}{11}$.

в) Заданное уравнение: $ \frac{3^{1+3x}}{9} = 27 \cdot 3^{1-2x} $.
Приведем все к основанию 3.
$9 = 3^2$, $27 = 3^3$.
Подставляем в уравнение:
$ \frac{3^{1+3x}}{3^2} = 3^3 \cdot 3^{1-2x} $
Упрощаем, используя свойства степеней:
$ 3^{(1+3x)-2} = 3^{3+(1-2x)} $
$ 3^{3x-1} = 3^{4-2x} $
Приравниваем показатели:
$ 3x - 1 = 4 - 2x $
$ 3x + 2x = 4 + 1 $
$ 5x = 5 $
$ x = 1 $
Ответ: $x = 1$.

г) Заданное уравнение: $ \frac{2}{3} \cdot 4^{x-2} = \frac{8^{3-2x}}{12} $.
Приведем степени к основанию 2, а также разложим числа на множители.
$4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$.
Подставим в уравнение:
$ \frac{2}{3} \cdot (2^2)^{x-2} = \frac{(2^3)^{3-2x}}{3 \cdot 2^2} $
$ \frac{2}{3} \cdot 2^{2x-4} = \frac{2^{9-6x}}{3 \cdot 2^2} $
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$ 2 \cdot 2^{2x-4} = \frac{2^{9-6x}}{2^2} $
Упростим обе части:
Левая часть: $ 2^1 \cdot 2^{2x-4} = 2^{1+2x-4} = 2^{2x-3} $.
Правая часть: $ 2^{(9-6x)-2} = 2^{7-6x} $.
Получаем уравнение:
$ 2^{2x-3} = 2^{7-6x} $
Приравниваем показатели:
$ 2x - 3 = 7 - 6x $
$ 2x + 6x = 7 + 3 $
$ 8x = 10 $
$ x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25 $
Ответ: $x = 1,25$.

д) Заданное уравнение: $ (0,81)^{-2x} = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3} $.
Приведем обе части к общему основанию.
$0,81 = \frac{81}{100} = \left(\frac{9}{10}\right)^2$.
$\frac{\sqrt{10}}{3} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \left(\frac{10}{9}\right)^{1/2} = \left(\left(\frac{9}{10}\right)^{-1}\right)^{1/2} = \left(\frac{9}{10}\right)^{-1/2}$.
Подставим в уравнение:
$ \left(\left(\frac{9}{10}\right)^2\right)^{-2x} = \left(\left(\frac{9}{10}\right)^{-1/2}\right)^{3x^2-3} $
Упростим показатели:
$ \left(\frac{9}{10}\right)^{-4x} = \left(\frac{9}{10}\right)^{-\frac{1}{2}(3x^2-3)} $
Приравниваем показатели:
$ -4x = -\frac{1}{2}(3x^2 - 3) $
Умножим обе части на -2:
$ 8x = 3x^2 - 3 $
Получаем квадратное уравнение:
$ 3x^2 - 8x - 3 = 0 $
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
$\sqrt{D} = 10$.
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{3}$.

е) Заданное уравнение: $ \left(\frac{2}{9}\right)^{x^2-1} = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{1,5x} $.
Приведем обе части к общему основанию.
Левая часть: $\frac{2}{9} = \frac{(\sqrt{2})^2}{3^2} = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2$.
Правая часть: $\frac{3}{\sqrt{2}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{-1}$.
Подставим в уравнение:
$ \left(\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2\right)^{x^2-1} = \left(\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{-1}\right)^{1,5x} $
Упростим показатели:
$ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{2(x^2-1)} = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{-1,5x} $
Приравниваем показатели:
$ 2(x^2 - 1) = -1,5x $
$ 2x^2 - 2 = -1,5x $
$ 2x^2 + 1,5x - 2 = 0 $
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$ 4x^2 + 3x - 4 = 0 $
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 9 + 64 = 73$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{8} $
Ответ: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{8}$.