Номер 7.16, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.16, страница 224.

7.16* Докажите, что если число $a > 0$, то неравенства $f(x) > g(x)$ и $af(x) > ag(x)$ равносильны.

Для доказательства равносильности двух неравенств необходимо показать, что множества их решений совпадают. Это означает, что любое решение первого неравенства является решением второго, и любое решение второго является решением первого. Таким образом, нужно доказать следование в обе стороны.

1. Докажем, что из $f(x) > g(x)$ следует $af(x) > ag(x)$ при $a > 0$.

Пусть для некоторого $x$ выполняется неравенство $f(x) > g(x)$. Перенесем $g(x)$ в левую часть, чтобы получить эквивалентное неравенство:

$f(x) - g(x) > 0$

По условию задачи дано, что число $a$ положительно, то есть $a > 0$. Согласно основному свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Умножим обе части неравенства $f(x) - g(x) > 0$ на положительное число $a$:

$a(f(x) - g(x)) > a \cdot 0$

Применим распределительный закон в левой части и выполним умножение в правой:

$af(x) - ag(x) > 0$

Теперь перенесем слагаемое $ag(x)$ в правую часть неравенства:

$af(x) > ag(x)$

Таким образом, мы доказали, что из истинности неравенства $f(x) > g(x)$ следует истинность неравенства $af(x) > ag(x)$.

2. Докажем, что из $af(x) > ag(x)$ следует $f(x) > g(x)$ при $a > 0$.

Пусть теперь для некоторого $x$ выполняется неравенство $af(x) > ag(x)$. Выполним равносильные преобразования. Перенесем $ag(x)$ в левую часть:

$af(x) - ag(x) > 0$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(f(x) - g(x)) > 0$

Так как по условию $a > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на это положительное число. По свойству числовых неравенств, знак неравенства при этом сохранится:

$\frac{a(f(x) - g(x))}{a} > \frac{0}{a}$

После сокращения дроби в левой части и вычисления в правой, получаем:

$f(x) - g(x) > 0$

Перенеся $g(x)$ в правую часть, приходим к исходному неравенству:

$f(x) > g(x)$

Таким образом, мы доказали, что из истинности неравенства $af(x) > ag(x)$ следует истинность неравенства $f(x) > g(x)$.

Поскольку мы доказали, что из первого неравенства следует второе, а из второго следует первое ($f(x) > g(x) \iff af(x) > ag(x)$), то их множества решений полностью совпадают, а значит, неравенства равносильны.

Ответ: Равносильность доказана, так как, основываясь на свойстве числовых неравенств (сохранение знака при умножении/делении на положительное число), было показано, что из $f(x) > g(x)$ следует $af(x) > ag(x)$, и наоборот, из $af(x) > ag(x)$ следует $f(x) > g(x)$, что означает идентичность их множеств решений.