Номер 7.23, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.23, страница 224.

7.23 a) $x+1 > \sqrt[3]{x^3+2x^2-3x-4}$;

б) $x+2 < \sqrt[3]{x^3+5x^2+7x+2}$.

a) Исходное неравенство: $x + 1 > \sqrt[3]{x^3 + 2x^2 - 3x - 4}$.

Поскольку функция $y=t^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, мы можем возвести обе части неравенства в куб, при этом знак неравенства сохранится. Область определения кубического корня — все действительные числа, поэтому дополнительных ограничений на $x$ нет.

$(x + 1)^3 > (\sqrt[3]{x^3 + 2x^2 - 3x - 4})^3$

Раскроем скобки в левой части и уберем корень в правой:

$x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3 > x^3 + 2x^2 - 3x - 4$

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 > x^3 + 2x^2 - 3x - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(x^3 - x^3) + (3x^2 - 2x^2) + (3x + 3x) + (1 + 4) > 0$

$x^2 + 6x + 5 > 0$

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + 6x + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции положительны (больше нуля) на промежутках, находящихся вне корней.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $x < -5$ и $x > -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $x + 2 < \sqrt[3]{x^3 + 5x^2 + 7x + 2}$.

Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части неравенства в третью степень, так как функция $y=t^3$ является возрастающей:

$(x + 2)^3 < (\sqrt[3]{x^3 + 5x^2 + 7x + 2})^3$

Раскроем скобки и упростим:

$x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 < x^3 + 5x^2 + 7x + 2$

$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 < x^3 + 5x^2 + 7x + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(x^3 - x^3) + (6x^2 - 5x^2) + (12x - 7x) + (8 - 2) < 0$

$x^2 + 5x + 6 < 0$

Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3 < x < -2$.

Ответ: $x \in (-3; -2)$.