Номер 7.24, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.24, страница 224.

7.24 a) $(5x - 2)^9 < (3x - 14)^9$;

Б) $(3x - 7)^7 > (5x - 11)^7$;

В) $(x^2 - 5x)^{11} > (2x^2 - 7x)^{11}$;

Г) $(3x^2 + x)^{33} < (x^2 + 3x)^{33}$.

Все представленные неравенства имеют вид $A^n > B^n$ или $A^n < B^n$, где показатель степени $n$ — нечетное натуральное число. Функция $y = u^n$ для нечетного $n$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что неравенство для степеней равносильно неравенству для их оснований. То есть, если $A^n > B^n$, то $A > B$, и если $A^n < B^n$, то $A < B$.

а) $(5x - 2)^9 < (3x - 14)^9$

Поскольку показатель степени $9$ является нечетным, данное неравенство равносильно следующему линейному неравенству:

$5x - 2 < 3x - 14$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5x - 3x < -14 + 2$

$2x < -12$

Разделим обе части на 2:

$x < -6$

Ответ: $x \in (-\infty, -6)$

б) $(3x - 7)^7 > (5x - 11)^7$

Показатель степени $7$ — нечетное число, поэтому неравенство сводится к неравенству оснований:

$3x - 7 > 5x - 11$

Сгруппируем слагаемые:

$11 - 7 > 5x - 3x$

$4 > 2x$

Разделим обе части на 2:

$2 > x$

Или, что то же самое:

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$

в) $(x^2 - 5x)^{11} > (2x^2 - 7x)^{11}$

Так как показатель степени $11$ является нечетным, мы можем сравнить основания:

$x^2 - 5x > 2x^2 - 7x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$0 > 2x^2 - x^2 - 7x + 5x$

$0 > x^2 - 2x$

Это равносильно $x^2 - 2x < 0$. Для решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x = 0$:

$x(x - 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 2x$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0, 2)$

г) $(3x^2 + x)^{33} < (x^2 + 3x)^{33}$

Показатель степени $33$ нечетный, поэтому неравенство равносильно неравенству для оснований:

$3x^2 + x < x^2 + 3x$

Приведем неравенство к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - x^2 + x - 3x < 0$

$2x^2 - 2x < 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - x < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x = 0$:

$x(x - 1) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 - x$ направлена ветвями вверх, значит, она отрицательна на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0, 1)$