Номер 7.28, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.28, страница 225.

7.28 a) $(\frac{2}{5})^{4 - x} < (\frac{5}{2})^{2x + 1}$

Б) $(\frac{2}{7})^{3 - x} < (\frac{7}{2})^{3x - 1}$

В) $(\frac{3}{4})^{1 - 2x} > (\frac{4}{3})^{x + 5}$

Г) $(\frac{2}{3})^{3x - 7} > (\frac{3}{2})^{4x + 1}$

а)

Дано неравенство: $\left(\frac{2}{5}\right)^{4-x} < \left(\frac{5}{2}\right)^{2x+1}$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что основания являются взаимно обратными числами: $\frac{5}{2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$.

Подставим это в правую часть неравенства:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{4-x} < \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right)^{2x+1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{4-x} < \left(\frac{2}{5}\right)^{-(2x+1)}$

$\left(\frac{2}{5}\right)^{4-x} < \left(\frac{2}{5}\right)^{-2x-1}$

Так как основание степени $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней, знак неравенства нужно изменить на противоположный:

$4 - x > -2x - 1$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$2x - x > -1 - 4$

$x > -5$

Ответ: $x \in (-5; +\infty)$.

б)

Дано неравенство: $\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} < \left(\frac{7}{2}\right)^{3x-1}$.

Приведем обе части к общему основанию $\frac{2}{7}$. Так как $\frac{7}{2} = \left(\frac{2}{7}\right)^{-1}$, то:

$\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} < \left(\left(\frac{2}{7}\right)^{-1}\right)^{3x-1}$

$\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} < \left(\frac{2}{7}\right)^{-(3x-1)}$

$\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} < \left(\frac{2}{7}\right)^{-3x+1}$

Основание $a = \frac{2}{7}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. Меняем знак неравенства на противоположный при переходе к показателям:

$3 - x > -3x + 1$

Решаем линейное неравенство:

$3x - x > 1 - 3$

$2x > -2$

$x > -1$

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

в)

Дано неравенство: $\left(\frac{3}{4}\right)^{1-2x} > \left(\frac{4}{3}\right)^{x+5}$.

Приведем обе части к общему основанию $\frac{3}{4}$, используя то, что $\frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^{1-2x} > \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}\right)^{x+5}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^{1-2x} > \left(\frac{3}{4}\right)^{-(x+5)}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^{1-2x} > \left(\frac{3}{4}\right)^{-x-5}$

Основание $a = \frac{3}{4}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция убывает. Меняем знак неравенства на противоположный:

$1 - 2x < -x - 5$

Решаем линейное неравенство:

$-2x + x < -5 - 1$

$-x < -6$

Умножаем обе части на $-1$ и снова меняем знак неравенства:

$x > 6$

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

г)

Дано неравенство: $\left(\frac{2}{3}\right)^{3x-7} > \left(\frac{3}{2}\right)^{4x+1}$.

Приведем обе части к общему основанию $\frac{2}{3}$, используя то, что $\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x-7} > \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{4x+1}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x-7} > \left(\frac{2}{3}\right)^{-(4x+1)}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x-7} > \left(\frac{2}{3}\right)^{-4x-1}$

Основание $a = \frac{2}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция убывает. Меняем знак неравенства на противоположный:

$3x - 7 < -4x - 1$

Решаем линейное неравенство:

$3x + 4x < 7 - 1$

$7x < 6$

$x < \frac{6}{7}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{6}{7})$.