Номер 7.26, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.26, страница 224.

7.26 a) $2^{2x+1} > 2^{x^2-5};$

B) $5^{2x-9} < 5^{x^2-12};$

б) $(0,3)^{2x+5} > (0,3)^{x^2+2};$

Г) $(0,5)^{4x-7} < (0,5)^{x^2-4}.$

а) $2^{x+1} > 2^{x^2-5}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому неравенство для показателей степеней будет иметь тот же знак:

$x+1 > x^2-5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

По теореме Виета (или через дискриминант):

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2$

$x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Парабола $y = x^2 - x - 6$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $-2 < x < 3$.

Ответ: $x \in (-2; 3)$.

б) $(0,3)^{2x+5} > (0,3)^{x^2+2}$

Так как основание степени $0 < 0,3 < 1$, показательная функция $y=(0,3)^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$2x+5 < x^2+2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 = -1$, $x_2 = 3$

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 3 > 0$ выполняется за пределами корней.

Следовательно, $x < -1$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

в) $5^{2x-9} < 5^{x^2-12}$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$2x-9 < x^2-12$

Переносим все члены в одну сторону:

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Это неравенство совпадает с неравенством из пункта б). Его решения:

$x < -1$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

г) $(0,5)^{4x-7} < (0,5)^{x^2-4}$

Так как основание степени $0 < 0,5 < 1$, показательная функция $y=(0,5)^t$ является убывающей. Знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный:

$4x-7 > x^2-4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 4x + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4x + 3 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $1 < x < 3$.

Ответ: $x \in (1; 3)$.